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基本性質(zhì)

容易證明，劉維爾數(shù)一定是無理數(shù)。若不然，則x=cd,(c,d∈ ∈ -->Z,d>0){\displaystyle x={\frac {c}inxmlcj},(c,d\in \mathbb {Z} ,d>0)}。 取足夠大的n{\displaystyle n}使2n? ? -->1>d{\displaystyle {2^{n-1}}>d}，在cd≠ ≠ -->pq{\displaystyle {\frac {c}smal41x}\neq {\frac {p}{q}}}時(shí)有

與定義矛盾。

劉維爾常數(shù)

即

這是一個(gè)劉維爾數(shù)。取

那么對于所有正整數(shù)n{\displaystyle n}

超越性

所有劉維爾數(shù)都是超越數(shù)，但反過來并不對。例如，著名的e和π π --> {\displaystyle \pi }就不是劉維爾數(shù)。實(shí)際上，有不可數(shù)多的超越數(shù)都不是劉維爾數(shù)。

證明

劉維爾定理：若無理數(shù)α α -->{\displaystyle \alpha }是代數(shù)數(shù)，即整系數(shù)n{\displaystyle n}次多項(xiàng)式f{\displaystyle f}的根，那么存在實(shí)數(shù)A>0{\displaystyle A>0}，對于所有p,q∈ ∈ -->Z,q>0{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,q>0}有

證明：令M=max{|f′(x)||x∈ ∈ -->[α α -->? ? -->1,α α -->+1]}{\displaystyle M=\max \left\{\left|f"(x)\right||x\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\right\}}，記f{\displaystyle f}的其它的不重復(fù)的根為 α α -->1,α α -->2,...,α α -->m{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}}，取這樣的A

如果存在使定理不成立的p,q{\displaystyle p,q}，就有

那么，pq∈ ∈ -->[α α -->? ? -->1,α α -->+1]∧ ∧ -->pq? ? -->{α α -->1,α α -->2,...,α α -->m}{\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \left[\alpha -1,\alpha +1\right]\land {\frac {p}{q}}\notin \left\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}\right\}}

據(jù)拉格朗日中值定理，存在α α -->{\displaystyle \alpha }和pq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}之間的x0{\displaystyle x_{0}}使得

有

f{\displaystyle f}是多項(xiàng)式，所以

由于|f′(x0)|≤ ≤ -->M{\displaystyle \left|f"(x_{0})\right|\leq M}和1/M>A{\displaystyle 1/M>A}

矛盾。

證明劉維爾數(shù)是超越數(shù)：有劉維爾數(shù)x{\displaystyle x}，它是無理數(shù)，如果它是代數(shù)數(shù)則

取滿足12r≤ ≤ -->A{\displaystyle {\frac {1}{2^{r}}}\leq A}的正整數(shù)r{\displaystyle r}，并令m=r+n{\displaystyle m=r+n}，存在整數(shù)a,b{\displaystyle a,b}其中 b>1{\displaystyle b>1}有

與上式矛盾。故劉維爾數(shù)是超越數(shù)。

參見

丟番圖逼近

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