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等冪求和

伯努利數(shù)Bn是等冪求和的解析解中最為明顯的特征，定義等冪和如下，其中m, n ≥ 0：

這數(shù)列和的公式必定是變數(shù)為n，次數(shù)為m +1次的多項(xiàng)式，稱為伯努利多項(xiàng)式。伯努利多項(xiàng)式的系數(shù)與伯努利數(shù)有密切關(guān)系如下：

其中(m + 1k) 為二項(xiàng)式系數(shù)。

舉例說，把m取為1，我們有1+2+...+n=12(B0n2+2B1+n1)=12(n2+n).{\displaystyle 1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}

伯努利數(shù)最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。

伯努利數(shù)可以由下列遞推公式計(jì)算：

初值條件為B0 = 1。

伯努利數(shù)也可以用母函數(shù)技巧定義。它們的指數(shù)母函數(shù)是x/（e ? 1），使得對(duì)所有絕對(duì)值小于2π的x（冪指數(shù)的收斂半徑），有

有時(shí)會(huì)寫成小寫bn，以便與貝爾數(shù)分別開。

最初21項(xiàng)伯努利數(shù)記于OEIS中的數(shù)列A027641和A027642。

可以證明對(duì)所有不是1的奇數(shù)n有Bn = 0。

數(shù)列中乍看起來突兀的B12 = ?691/2730，喻示伯努利數(shù)不能以初等方式描述；其實(shí)它們是黎曼ζ函數(shù)于負(fù)整數(shù)的值，有深邃的數(shù)論性質(zhì)聯(lián)系，所以不能預(yù)期有簡單的計(jì)算公式。

伯努利數(shù)出現(xiàn)在正切和雙曲正切函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數(shù)的一些值的表達(dá)式。

在1842年的愛達(dá)·勒芙蕾絲的分析機(jī)筆記的筆記G，第一次記述了一個(gè)讓電腦產(chǎn)生伯努利數(shù)的演算式。

一些等式

歐拉以黎曼ζ函數(shù)表達(dá)伯努利數(shù)為：

在[?1, 0]區(qū)間上的連續(xù)均勻概率分布的n階累積量是Bn/n。

伯努利數(shù)的算術(shù)性質(zhì)

伯努利數(shù)可以用黎曼ζ函數(shù)表達(dá)為Bn = ? nζ（1 ? n），也就說明它們本質(zhì)上是這函數(shù)在負(fù)整數(shù)的值。因此，可推測它們有深刻的算術(shù)性質(zhì)，事實(shí)也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費(fèi)馬最后定理時(shí)發(fā)現(xiàn)的。

伯努利數(shù)的可整除性是與分圓域的理想類群有關(guān)。這關(guān)系由庫默爾的一道定理和更強(qiáng)的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質(zhì)與實(shí)二次域的關(guān)系由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數(shù)還和代數(shù)K理論有關(guān)：若cn是Bn/2n的分子，那樣K4n? ? -->2(Z){\displaystyle K_{4n-2}({\mathbb {Z}})}的階是?c2n若n為偶數(shù)；2c2n若n為奇數(shù)。

與整除性也有關(guān)連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p ? 1整除n的素?cái)?shù)p，把1/p加到Bn上，我們會(huì)得到一個(gè)整數(shù)。這個(gè)事實(shí)給出了非零伯努利數(shù)Bn的分母的特征：這些分母是適合p ? 1整除n的所有素?cái)?shù)p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉(xiāng)-朱加猜想猜測p是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)pBp?1模p同余于?1。

p進(jìn)連續(xù)性

伯努利數(shù)的一個(gè)特別重要的同余性質(zhì)，可以表述為p進(jìn)連續(xù)性。若b，m和n是正整數(shù)，使得m和n不能被p ? 1整除，及m≡ ≡ -->nmodpb? ? -->1(p? ? -->1){\displaystyle m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1)}，那么

因?yàn)锽n=? ? -->nζ ζ -->(1? ? -->n){\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}，這也可以寫成

其中u = 1 ? m和v = 1 ? n，使得u和v非正，及不是模p ? 1同余于1。這告訴我們，黎曼ζ函數(shù)的歐拉乘積公式中去掉1? ? -->pz{\displaystyle 1-p^{z}}后，對(duì)適合模p ? 1同余于某個(gè)a?1modp? ? -->1{\displaystyle a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1}的負(fù)奇數(shù)上的p進(jìn)數(shù)連續(xù)，因此可以延伸到所有p進(jìn)整數(shù)Zp{\displaystyle {\mathbb {Z}}_{p}\,}，得出p進(jìn)ζ函數(shù)。

伯努利數(shù)的幾何性質(zhì)

在n≥ ≥ -->2{\displaystyle n\geq 2}時(shí)給出可平行流形邊界的怪（4n?1）球，對(duì)于它們的微分同胚類的循環(huán)群的階，有凱爾米爾諾米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數(shù)。若B是B4n/n的分子，那么這種怪球的數(shù)目是22n? ? -->2(1? ? -->22n? ? -->1)B{\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B}。（拓?fù)鋵W(xué)文章中的公式與這里不同，因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)家為伯努利數(shù)編號(hào)的習(xí)慣不同。本文跟隨數(shù)論家的編號(hào)習(xí)慣。）

參見

等冪求和

黎曼ζ函數(shù)

^A164555.

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