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物理量及定律

原表達(dá)形式

其中：

定理假設(shè)

使用伯努利定律必須符合以下假設(shè)，方可使用；如沒(méi)完全符合以下假設(shè)，所求的解也是近似值。

定常流動(dòng)（或稱穩(wěn)定流，Steady flow）：在流動(dòng)系統(tǒng)中，流體在任何一點(diǎn)之性質(zhì)不隨時(shí)間改變。

不可壓縮流（Incompressible flow）：密度為常數(shù)，在流體為氣體適用于馬赫數(shù) M {\displaystyle M} 小于0.3的情況。

無(wú)摩擦流（Frictionsless flow）：摩擦效應(yīng)可忽略，忽略黏滯性效應(yīng)。

流體沿著流線流動(dòng)（Flow along a streamline）：流體元素（element）沿著流線而流動(dòng)，流線間彼此是不相交的。

推論過(guò)程

考慮一符合上述假設(shè)的流體，如圖所示：

流體因受壓力的推動(dòng)而得之能量：

流體因引力做功所損失的能量：

流體所得的動(dòng)能可以改寫為：

根據(jù)能量守恒定律，流體因受力所得的能量＋流體因引力做功所損失的能量＝流體所得的動(dòng)能。

由連續(xù)方程可知：

令 constant = Δ Δ --> V {\displaystyle {\mbox{constant}}=\Delta V\;}

從等式兩邊除以 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t\;} 及 Δ Δ --> V {\displaystyle \Delta V\;} 可得：

或

特例：托里切利定律

當(dāng)液體因受到地心吸力的作用而流出時(shí)，其速度等于 2 g h {\displaystyle {\sqrt {2gh}}} ，其中 g {\displaystyle g} 為引力的加速度， h {\displaystyle h} 為開(kāi)口的中心和液體最高面的距離。這個(gè)速度剛好等于液體從離地 h {\displaystyle h} 的地方以自由落體的方式下落時(shí)，著地前的速度（但實(shí)際上因?yàn)橛锌諝庾枇?，所以?shí)際情形一般不會(huì)以自由落體的方式下落）。

伯努利定律演示實(shí)驗(yàn)

簡(jiǎn)易噴槍

運(yùn)作中的簡(jiǎn)易噴槍

簡(jiǎn)易噴霧器，以大吸管固定兩只小吸管使之夾角略小于直角，因從吸管吹出之氣體流速較快，壓力較一大氣壓力為低，因此能夠?qū)⑺?jīng)由下端吸管中吸起，并于開(kāi)口處加速破碎成霧滴，模型制作用噴槍以及工業(yè)用噴漆噴槍多為此種設(shè)計(jì)。

不過(guò)因?yàn)椴墒羌僭O(shè)流體沿著流線流動(dòng)，探討同一流線上二點(diǎn)的速度及壓力變化。因此有些現(xiàn)象和伯努利定律無(wú)關(guān)，例如懸浮保麗龍球，將可折彎的吸管一端向上穩(wěn)定吹出氣體，將一直徑約3公分之保麗龍球放置于氣柱上，保麗龍球能夠懸浮晃動(dòng)于一定區(qū)域中，因?yàn)楸｛慅埱蛏戏胶拖路降臍饬鞑皇峭涣骶€，這和伯努利定律無(wú)關(guān)，是康達(dá)效應(yīng)的結(jié)果 。

可壓縮流體的伯努利定律

伯努利從觀察液體的行為中推導(dǎo)出伯努利方程，但他的方程是只能應(yīng)用在不可壓縮的流體，以及雖然可壓縮但流速非常慢的流體（也許可以到1/3的聲速）。利用基本物理原理，可以發(fā)展出類似的方程，以適用于可壓縮的流體。以下有幾個(gè)類似于伯努力定律，能應(yīng)用在不同領(lǐng)域方程。它們的推導(dǎo)只運(yùn)用了像是牛頓第二定律和熱力學(xué)第一定律的基本物理定律。

可壓縮流體之流體力學(xué)

對(duì)于可壓縮的流體，在保守力的作用之下，所得到的守恒式為

其中:

在工程領(lǐng)域，在海拔比較高的地方，其壓力會(huì)比地表來(lái)的小，而且流體流動(dòng)的時(shí)間通常是相當(dāng)?shù)男。缤^熱系統(tǒng)般。在這種情形下，上述的方程即

其中：

在可壓縮流體可以應(yīng)用的地方，因?yàn)楦叨茸兓c其他變因相比小的很多，故gz項(xiàng)可以省略，所以較常用的方程為

其中:

可壓縮流動(dòng)的熱力學(xué)

另一個(gè)適合使用在熱力學(xué)的公式是

其中：

請(qǐng)注意 w = ? ? --> + p ρ ρ --> {\displaystyle w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}} ，其中 ? ? --> {\displaystyle \epsilon } 為熱力學(xué)單位質(zhì)量的能量，即比內(nèi)能（specific internal energy）； p {\displaystyle p} 為壓力； ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 為密度。

公式右側(cè)的常數(shù)通常被稱為伯努力常數(shù)，常被寫為 b {\displaystyle b} 。當(dāng)在絕熱非黏滯性的流動(dòng)，沒(méi)有能量的流進(jìn)或流出時(shí)， b {\displaystyle b} 在任何曲線都是常數(shù)。

當(dāng) Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 變化可以忽略，一個(gè)非常有用的形式的方程是:

其中 w 0 {\displaystyle w_{0}} 是焓的總量。

延伸閱讀

Ting, J.fluid mechanics. createspace. 2014. ISBN 978-149426094-1.

Batchelor, G.K.An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0-521-66396-2.

Clancy, L.J. Aerodynamics. Pitman Publishing, London. 1975. ISBN 0-273-01120-0.

Lamb, H.Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-45868-9. Originally published in 1879; the 6th extended edition appeared first in 1932.

Landau, L.D.;Lifshitz, E.M.Fluid Mechanics.Course of Theoretical Physics2nd. Pergamon Press. 1987. ISBN 0-7506-2767-0.

Chanson, H.Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group. 2009. ISBN 978-0-415-49271-3.

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