亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

歷史

這一穩(wěn)定性以俄國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大·李亞普諾夫命名，他在1892年發(fā)表了他的博士論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》，文中給出了穩(wěn)定性的科學(xué)概念、研究方法和相關(guān)理論。李雅普諾夫考慮到針對(duì)非線性系統(tǒng)修改穩(wěn)定理論，修正為以一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)線性化的系統(tǒng)為基礎(chǔ)的線性穩(wěn)定理論。他的作品最初以俄文發(fā)行，后翻譯為法文，但多年來(lái)默默無(wú)聞。人們對(duì)它的興趣突然在冷戰(zhàn)初期（1953至1962年）開(kāi)始，因當(dāng)所謂的“李雅普諾夫第二方法”被認(rèn)為適用于航空航天制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而這系統(tǒng)通常包含很強(qiáng)的非線性，其他方法并不適用。大量的相關(guān)出版物自那時(shí)起開(kāi)始出現(xiàn)，并進(jìn)入控制系統(tǒng)文獻(xiàn)中。最近李雅普諾夫指數(shù)的概念（與李雅普諾夫穩(wěn)定性第一種方法）引起了廣泛興趣，并與混沌理論結(jié)合了起來(lái)。

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)下的定義

給定一個(gè)完備的賦范向量空間 E （例如 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ），設(shè) U 是 E 的開(kāi)子集。考慮一個(gè)自治的非線性動(dòng)力系統(tǒng)：

其中 x ( t ) ∈ ∈ --> U {\displaystyle x(t)\in U} 是系統(tǒng)的狀態(tài)向量， f : U → → --> E {\displaystyle f:U\rightarrow E} 是 連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)。

假設(shè)函數(shù) f 有一個(gè)零點(diǎn)： f ( a ) = 0，則常數(shù)函數(shù)： x = a 是動(dòng)力系統(tǒng)的 駐定解 （或稱 平衡解 ）。稱 a 是動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

稱點(diǎn) a 李雅普諾夫穩(wěn)定 （簡(jiǎn)稱 穩(wěn)定 ），如果對(duì)每個(gè) ? ? --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，均存在 δ δ --> = δ δ --> ( ? ? --> ) > 0 {\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0} ，使得對(duì)所有滿足 ∥ ∥ --> x 0 ? ? --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x_{0}-a\| 的 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，只要 t ? ? --> t 0 {\displaystyle t\geqslant t_{0}} ，就有 ∥ ∥ --> x ( t ) ? ? --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x(t)-a\| 。

稱點(diǎn) a 漸近穩(wěn)定 ，如果點(diǎn) a 李雅普諾夫穩(wěn)定，且存在 δ δ --> > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得對(duì)所有滿足 ∥ ∥ --> x 0 ? ? --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x_{0}-a\| 的 x 0 {\displaystyle x_{0}} ， lim t → → --> ∞ ∞ --> x ( t ) = a {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=a} 。

稱點(diǎn) a 指數(shù)穩(wěn)定 ，如果點(diǎn) a 漸近穩(wěn)定，且存在 α α --> , β β --> , δ δ --> > 0 {\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta >0} 使得對(duì)所有滿足 ∥ ∥ --> x 0 ? ? --> a ∥ ∥ --> {\displaystyle \|x_{0}-a\| 的 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，只要 t ? ? --> t 0 {\displaystyle t\geqslant t_{0}} ，就有 ∥ ∥ --> x ( t ) ? ? --> a ∥ ∥ --> ≤ ≤ --> α α --> ∥ ∥ --> x 0 ? ? --> a ∥ ∥ --> e ? ? --> β β --> t {\displaystyle \|x(t)-a\|\leq \alpha \|x_{0}-a\|e^{-\beta t}} 。

它們的直觀幾何意義是：

平衡點(diǎn)為李雅普諾夫穩(wěn)定的，表示若動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)（微分方程的解函數(shù)）的初值“足夠接近”平衡點(diǎn)，則它會(huì)永遠(yuǎn)維持在平衡點(diǎn)附近任意小的范圍里（距平衡點(diǎn)的距離不超過(guò)任意選擇的正實(shí)數(shù) ? ? --> {\displaystyle \epsilon } ）。

漸近穩(wěn)定的意思是，初值足夠接近平衡點(diǎn)的狀態(tài)函數(shù)，不但維持在平衡點(diǎn)附近，而且最后會(huì)收斂到平衡點(diǎn)。

指數(shù)穩(wěn)定的意思是，狀態(tài)函數(shù)不但最后會(huì)收斂到平衡點(diǎn)，且收斂速度不慢于某種指數(shù)遞減的速度。

設(shè)有狀態(tài)函數(shù) x ，其初始取值為 x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}} 。稱 x ˉ ˉ --> = { x ( t ) ; t ? ? --> t 0 } {\displaystyle {\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t_{0}\}} 為 x 的軌跡。如果對(duì)所有初始值與 x 足夠接近的狀態(tài)函數(shù) y ，兩者的軌跡會(huì)趨于相同：

則稱 x 的軌跡有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對(duì)所有 y 均成立，則稱 x 有全局吸引性（globally attractive）。

如果 x 的軌跡有吸引性，并且穩(wěn)定，則 x 漸近穩(wěn)定。不過(guò)， x 有吸引性不表示它的軌跡漸近穩(wěn)定。

迭代系統(tǒng)下的定義

離散時(shí)間系統(tǒng)下穩(wěn)定性的定義和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過(guò)使用的是較多數(shù)學(xué)書籍上使用的定義。

給定度量空間 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 。設(shè) f : : --> X → → --> X {\displaystyle f\colon X\to X} 為一連續(xù)函數(shù)。稱點(diǎn) a ∈ ∈ --> X {\displaystyle a\in X} 為 李雅普諾夫穩(wěn)定 ，如果對(duì)任意 ? ? --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在 δ δ --> > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得只要 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in X} 滿足 d ( x , a ) {\displaystyle d(x,a) ，就有

稱點(diǎn) a 漸近穩(wěn)定 ，如果 a 是李雅普諾夫穩(wěn)定的點(diǎn)，而且在穩(wěn)定點(diǎn)集合的內(nèi)部，即存在 δ δ --> > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得只要 x ∈ ∈ --> X {\displaystyle x\in X} 滿足 d ( x , a ) {\displaystyle d(x,a) ，就有

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

對(duì)于微分方程解之穩(wěn)定性的研究稱為穩(wěn)定性理論。而李雅普諾夫穩(wěn)定性定理只提供了穩(wěn)定性的充份條件。

李雅普諾夫穩(wěn)定性第二定理

考慮一個(gè)函數(shù) V(x) : R → R 使得

V ( x ) ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle V(x)\geq 0} 只有在 x = 0 {\displaystyle x=0} 處等號(hào)成立（正定函數(shù)）

V ˙ ˙ --> ( x ( t ) ) < 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x(t))<0} （負(fù)定）

則 V(x) 稱為李雅普諾夫候選函數(shù)（Lyapunov function candidate），且系統(tǒng)（依李雅普諾夫的觀點(diǎn)）為 漸近穩(wěn)定 。

上式中 V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0} 是必要的條件。否則， V ( x ) = 1 / ( 1 + | x | ) {\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)} 可以用來(lái)“證明” x ˙ ˙ --> ( t ) = x {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x} 有區(qū)域性穩(wěn)定。另一個(gè)稱為徑向無(wú)界性（radial unboundedness）的條件則是用來(lái)得到全域漸近穩(wěn)定的結(jié)果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統(tǒng)（如彈簧及質(zhì)量的系統(tǒng)）及其中的能量。若系統(tǒng)能量隨時(shí)間遞減，且減少的能量不會(huì)恢復(fù)，而此系統(tǒng)最后一定會(huì)靜止于某個(gè)特定的狀態(tài)。最后的狀態(tài)稱為吸引子。不過(guò)針對(duì)一個(gè)物理系統(tǒng)，找到表達(dá)其精確能量的函數(shù)不一定容易，而且針對(duì)抽象數(shù)學(xué)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或生物系統(tǒng)，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普諾夫的分析方式，可在不知道系統(tǒng)實(shí)際能量的情形下，證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不過(guò)前提是可以找到滿足上述限制的李雅普諾夫函數(shù)。

例如考慮以下的系統(tǒng)

希望用李雅普諾夫函數(shù)來(lái)確認(rèn) x = 0 {\displaystyle x=0\,} 附近的穩(wěn)定性。令

V ( x ) {\displaystyle V(x)} 本身為正定函數(shù)．而V(x)的導(dǎo)函數(shù)如下

為負(fù)定函數(shù)，因此上述系統(tǒng)在 x = 0 {\displaystyle x=0\,} 附近為漸近穩(wěn)定。

線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的穩(wěn)定性

一個(gè)線性的狀態(tài)空間模型

為漸近穩(wěn)定（其實(shí)是指數(shù)穩(wěn)定），若

的解存在。

其中 N = N T > 0 {\displaystyle N=N^{T}>0} 且 M = M T > 0 {\displaystyle M=M^{T}>0} （正定矩陣）。（對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)為 V ( x ) = x T M x {\displaystyle V(x)=x^{T}Mx} ）

有輸入值系統(tǒng)的穩(wěn)定性

一個(gè)有輸入（或受控制）的系統(tǒng)可以下式表示

其中輸入 u(t) 可視為 控制 、 外部輸入 、 擾動(dòng) 、 刺激 或 外力 。這種系統(tǒng)的研究是控制理論研究的主題之一，也應(yīng)用在控制工程中。

對(duì)于有輸入的系統(tǒng)，需量化輸入對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。在線性系統(tǒng)中會(huì)用BIBO穩(wěn)定性來(lái)作分析的工具，在非線性系統(tǒng)中則會(huì)使用輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性。

參考資料

本條目含有來(lái)自PlanetMath《asymptotically stable》的材料，版權(quán)遵守乃遵守知識(shí)共享協(xié)議：署名-相同方式共享協(xié)議 。

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請(qǐng)告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。