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對稱群

射影線性群PGL(2,C) 由莫比烏斯變換作用在黎曼球面上。保持上半平面不動的子群是 PGL(2,R)，這些變化的系數(shù)是實數(shù)，它們傳遞、等距作用在上半平面上，將它變成一個齊性空間。

有四個非常相關(guān)的李群通過分式線性變換作用在上半平面上，且保持雙曲距離。

由行列式為 +1 的 2×2 實矩陣組成的特殊線性群SL(2,R)。注意許多書籍經(jīng)常說 SL(2,R)，其實際是指 PSL(2,R)。

由行列式為 +1 或 -1 組成的 2×2 實矩陣 S*L(2,R) 。注意 SL(2,R) 是這個群的一個子群。

射影線性群PSL(2,R)= SL(2,R)/{±I}，由 SL(2,R) 中矩陣模去正負恒同矩陣。

群 PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I} 同樣是射影群，同樣是模去正負恒同矩陣。

這些群與龐加萊模型的關(guān)系如下：

H 的所有等距的群，通常記做 Isom(H)，同構(gòu)于 PSL(2,R)。這包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射（鏡映射）是 z→ → -->? ? -->zˉ ˉ -->{\displaystyle z\rightarrow -{\overline {z}}}。

H 保持定向的等距，通常記做 Isom(H)，同構(gòu)于 PSL(2,R)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一個經(jīng)常見到的是模群 SL(2,Z)。這個群在兩個方面很重要。首先，它是正方形 2×2 格點的對稱群。從而在一個方形網(wǎng)格中周期函數(shù)，比如模形式以及橢圓函數(shù)，將從這個網(wǎng)格繼承一個 SL(2,Z) 對稱。另一方面，SL(2,Z) 當然也是 SL(2,R) 的一個子群，從而嵌入其中有雙曲表現(xiàn)。特別地，SL(2,Z) 可用來將雙曲平面鑲嵌為等（龐加萊）面積的單元。

等距對稱

特殊線性群PSL(2,R) 在 H 上的作用定義為

注意到這個作用是傳遞的，從而任何對 z1,z2∈ ∈ -->H{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }，存在一個 g∈ ∈ -->PSL(2,R){\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )} 使得 gz1=z2{\displaystyle gz_{1}=z_{2}}。這個作用也是忠實的：如果對 z 屬于 H 有 gz=z{\displaystyle gz=z}，那么 g=e。

H 中一個元素 z穩(wěn)定子或迷向子群是所有 g∈ ∈ -->PSL(2,R){\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )} 使 z 不變 gz=z 的集合。i{\displaystyle i} 的穩(wěn)定子是旋轉(zhuǎn)群

由傳遞性，H" 中任何元素 z 可由 PSL(2,R) 中一個元素映為 i{\displaystyle i}，這意味著任何 z 的迷向子群同構(gòu)于 SO(2)。從而 H = PSL(2,R)/SO(2)?；蛘?，上半平面上的切向量叢，稱為單位切叢，同構(gòu)于 PSL(2,R)。

利用模群 SL(2,Z)，上半平面鑲嵌成自由正則集合（free regular set）。

測地線

這個度量張量的測地線是垂直于實數(shù)軸的圓弧（即圓心位于實軸上的半圓周）以及終于實軸的豎直直線。

經(jīng)過 i{\displaystyle i} 的單位速度豎直測地線為：

因為 PSL(2,R) 作為等距傳遞作用在上半平面，這條測地線通過 PSL(2,R) 的作用映到其它測地線。從而，一般的單位速度測地線由

給出。這給出了上半平面上單位長切叢（復線叢）測地流的完整描述。

另見

平行角（Angle of parallelism）

阿諾索夫流（Anosov flow）

富克斯群（Fuchsian group）

富克斯模型（Fuchsian model）

克萊因群（Kleinian group）

克萊因模型

龐加萊度量

龐加萊圓盤模型（Poincaré disk model）

偽球面（Pseudosphere）

施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）

超平行定理（Ultraparallel theorem）

參考文獻

Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255

Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.

Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.

Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).

Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.

John Stillwell (1998) Numbers and Geometry,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.

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