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基本解釋

等距同構(gòu)是一種事物在事件間的時(shí)空軌跡上的移動(dòng)方式，而這樣做是不會(huì)影響原時(shí)的。例如，所有事件被延后了兩小時(shí)，而這兩小時(shí)中包括了兩項(xiàng)事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那么你的計(jì)時(shí)器所量度出的，兩事件間的時(shí)間間距會(huì)是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那么你所量度出的時(shí)間間距也不會(huì)改變。而這種移動(dòng)的結(jié)果是不會(huì)影響棍子長(zhǎng)度的。

如果我們無(wú)視重力效應(yīng)的話，那么一共有十種移動(dòng)方式：在時(shí)間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉(zhuǎn)，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。

如果將這種等距同構(gòu)結(jié)合起來(lái)（即執(zhí)行一個(gè)之后再執(zhí)行另一個(gè)），那么所得的結(jié)果也會(huì)是等距同構(gòu)（然而，這一般來(lái)說(shuō)只限于上述十種基本移動(dòng)之間的線性組合）。這些等距同構(gòu)因此形成了一個(gè)群。也就是說(shuō)，它們當(dāng)中存在單位元（即不移動(dòng)，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動(dòng)回原先的位置），同時(shí)亦遵守結(jié)合律。這種特定群的名字叫做“龐加萊群”。

在古典物理學(xué)中，對(duì)應(yīng)龐加萊群的群叫伽利略群，也是有十個(gè)生成元的，伽利略群作用于絕對(duì)時(shí)空。而在伽利略群中取代直線性洛倫茲變換的是，聯(lián)系兩個(gè)共動(dòng)慣性參考系的錯(cuò)切變換。

專門解釋

龐加萊群是閔可夫斯基時(shí)空的等距同構(gòu)群。它是一種十維的非緊李群。平移的阿貝爾群是一個(gè)正規(guī)子群，而洛倫茲群也是一個(gè)子群，原點(diǎn)的穩(wěn)定子群。龐加萊群本身是仿射群（英語(yǔ)：Affine group）的最小子群，而仿射群就包括了所有的變換與洛倫茲變換。準(zhǔn)確一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積

另一種解釋方式是，把龐加萊群視為洛倫茲群的群擴(kuò)張，而擴(kuò)張的部分則是它的向量群表示；因此龐加萊群有一個(gè)不正式的稱呼，叫“非均勻洛倫茲群”（inhomogeneous Lorentz group）。另外，當(dāng)?shù)挛魈匕霃节呄驘o(wú)限大時(shí)，德西特群（de Sitter group）SO(4,1)～ ～ -->Sp(2,2){\displaystyle {\text{SO}}(4,1)\sim {\text{Sp}}(2,2)}的群收縮（英語(yǔ)：Group contraction）就是龐加萊群。

它的正能量幺正不可約表示是由質(zhì)量（非負(fù)數(shù)）與自旋（整數(shù)或半整數(shù)）所標(biāo)記的，并與量子力學(xué)的粒子有關(guān)。

與愛爾蘭根綱領(lǐng)一致，閔可夫斯基空間的幾何由龐加萊群所規(guī)定的：閔可夫斯基空間可被視為龐加萊群的齊性空間。

龐加萊代數(shù)是龐加萊群的李代數(shù)。更具體的來(lái)說(shuō)，正式的(det(Λ Λ -->)=1{\displaystyle {\text{det}}(\Lambda )=1})，也就是洛倫茲子群（它的單位連通區(qū)（英語(yǔ)：Identity component））SO+(1,3){\displaystyle {\text{SO}}^{+}(1,3)}的正確時(shí)間（Λ Λ -->00≥ ≥ -->1{\displaystyle \Lambda _{0}^{0}\geq 1}）部分，是與單位元有關(guān)系的，因此可用矩陣指數(shù)exp? ? -->(iaμ μ -->Pμ μ -->){\displaystyle \exp(ia_{\mu }P^{\mu })}與exp? ? -->(iω ω -->μ μ -->ν ν -->Mμ μ -->ν ν -->/2){\displaystyle \exp(i\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }/2)}表示。在分量形式中，龐加萊群可用以下的交換關(guān)系表示：

其中P為平移生成元，M為洛倫茲變換生成元，η為閔可夫斯基度規(guī)。

以下的是與（均勻）洛倫茲群的交換關(guān)系，洛倫茲群由旋轉(zhuǎn)（Ji=? ? -->ε ε -->imnMmn/2{\displaystyle J_{i}=-\varepsilon _{imn}M^{mn}/2}）及直線性洛倫茲變換（Ki=Mi0{\displaystyle K_{i}=M_{i0}}）所組成。在這樣的標(biāo)記下，可以用非協(xié)變形式（但較實(shí)用）來(lái)表示整個(gè)龐加萊代數(shù)

其中最下面的是兩個(gè)直線性洛倫茲變換的交換關(guān)系，很多時(shí)候會(huì)被稱作“維格納旋轉(zhuǎn)”。注意根據(jù)上述關(guān)系，[Jm+iKm,Jn? ? -->iKn]=0{\displaystyle [J_{m}+iK_{m},J_{n}-iK_{n}]=0}，這是一項(xiàng)重要的簡(jiǎn)化，能使洛倫茲子代數(shù)約化至su(2)⊕su(2)，并且使應(yīng)付洛倫茲群的表示論的方法有效得多。

這種代數(shù)的卡西米爾不變量為Pμ μ -->Pμ μ -->{\displaystyle P_{\mu }P^{\mu }}與Wμ μ -->Wμ μ -->{\displaystyle W_{\mu }W^{\mu }}，其中Wμ μ -->{\displays包立l魯班斯基{\mu }}為包立-魯班斯基假向量（英語(yǔ)：Pauli-Lubanski pseudovector）；它們的作用是標(biāo)記群表示。

龐加萊群是任何相對(duì)論性量子場(chǎng)的完全對(duì)稱群。因此，所有基本粒子都能成為這個(gè)群表示的一部分。這些表示一般是由兩種物件所指明的：每一粒子的四維動(dòng)量平方（即質(zhì)量平方），和內(nèi)稟量子數(shù)JPC{\displaystyle J^{PC}}，其中J為自旋量子數(shù)，P為宇稱，C為電荷共軛量子數(shù)。實(shí)際上許多量子場(chǎng)會(huì)破壞宇稱與電荷共軛。在那些情況下就會(huì)棄用被破壞的P和C。由于每一套量子場(chǎng)論均需擁有CPT不變性，因此要從P和C構(gòu)建時(shí)間反轉(zhuǎn)量子數(shù)T是件很容易的事。

作為拓?fù)淇臻g，這個(gè)群共有四個(gè)連通區(qū)：?jiǎn)挝粎^(qū)、時(shí)間反轉(zhuǎn)區(qū)、空間顛倒區(qū)、以及同時(shí)出現(xiàn)時(shí)間反轉(zhuǎn)與空間顛倒的區(qū)。

龐加萊對(duì)稱

龐加萊對(duì)稱是狹義相對(duì)論的完全對(duì)稱，當(dāng)中包括：

在時(shí)間與空間中的平移（即位移），P。它們形成了描述時(shí)空中的平移的阿貝爾李群。

空間中的旋轉(zhuǎn)（它們形成了描述三維旋轉(zhuǎn)的非阿貝爾李群，其生成元為J）

直線性洛倫茲變換，即聯(lián)系兩個(gè)均勻移動(dòng)物體的變換，其生成元為K。

上述最后兩種對(duì)稱，J及K，組合起來(lái)就成了洛倫茲群（見洛倫茲不變性）。

它們都是一種叫龐加萊群的李群的生成元，而龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積。在這個(gè)群下不變的物件，可被稱為擁有龐加萊不變性或相對(duì)論性不變性。

參考文獻(xiàn)

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Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields 1. Cambridge: Cambridge University press. 1995. ISBN 978-0-521-55001-7. 

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