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基本解釋等距同構(gòu)是一種事物在事件間的時(shí)空軌跡上的移動(dòng)方式，而這樣做是不會(huì)影響原時(shí)的。例如，所有事件被延后了兩小時(shí)，而這兩小時(shí)中包括了兩項(xiàng)事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那么你的計(jì)時(shí)器所量度出的，兩事件間的時(shí)間間距會(huì)是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那么你所量度出的時(shí)間間距也不會(huì)改變。而這種移動(dòng)的結(jié)果是不會(huì)影響棍子長(zhǎng)度的。如果我們無(wú)視重力效應(yīng)的話，那么一共有十種移動(dòng)方式：在時(shí)間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉(zhuǎn)，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1+3+3+3=10。如果將這種等距同構(gòu)結(jié)合起來(lái)（即執(zhí)行一個(gè)之后再執(zhí)行另一個(gè)），那么所得的結(jié)果也會(huì)是等距同構(gòu)（然而，這一般來(lái)說(shuō)只限于上述十種基本移動(dòng)之間的線性組合）。這些等距同構(gòu)因此形成了一個(gè)群。也就是說(shuō)，它們當(dāng)中存在單位元（即不移動(dòng)，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動(dòng)回原先的位置...

黎曼曲面上的度量概要復(fù)平面上的度量可寫成一般形式這里λ是z與zˉˉ-->{\displaystyle{\overline{z}}}的一個(gè)實(shí)正函數(shù)。復(fù)平面上曲線γ的長(zhǎng)度為復(fù)平面上子集M之面積是這里∧∧-->{\displaystyle\wedge}是用于構(gòu)造體積形式的外積。度量的行列式等于λλ-->4{\displaystyle\lambda^{4}}，故而行列式的平方根是λλ-->2{\displaystyle\lambda^{歐幾里得復(fù)平面上的歐幾里得體積形式為dx∧∧-->dy{\displaystyledx\wedgedy}，從而我們有函數(shù)ΦΦ-->(z,zˉˉ-->){\displaystyle\Phi(z,{\overline{z}})}稱為度量的勢(shì)能（potentialofthemetric），如果拉普拉斯–貝爾特拉米算子為度量的高斯曲...

基本描述在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基于恩里科·貝蒂的工作而發(fā)展出的同調(diào)論，可以判定一個(gè)三維流形是否三維球面。不過(guò)，他在1904年發(fā)表的一篇論文中，舉出了一個(gè)反例，現(xiàn)在稱為龐加萊同調(diào)球面，與三維球面有相同的同調(diào)群。他引進(jìn)了一個(gè)新的拓?fù)洳蛔兞?，稱為基本群，并且證明他的反例與三維球面的基本群不同。三維球面有平凡基本群，也就是說(shuō)是單連通的。他提出以下猜想：上述簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是：每一個(gè)沒(méi)有破洞的封閉三維物體，都拓?fù)涞葍r(jià)于三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個(gè)柳橙表面的橡皮筋，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮筋以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)甜甜圈表面上，那么不扯斷橡皮筋或者甜甜圈，是沒(méi)有辦法把它不離開表面而又收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，柳橙表面是“單連通的”，而甜甜圈表面則不是。該猜想是一個(gè)屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的具有基本意義的命題，對(duì)“...

龐加萊，1854年出生于法國(guó)，是著名的數(shù)學(xué)家，天體學(xué)家，數(shù)學(xué)物理學(xué)家。龐加萊研究的主要有數(shù)論，代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)，多復(fù)變函數(shù)論等等。他在數(shù)學(xué)方面取得的巨大成就對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)都產(chǎn)生了重要影響，那么，龐加萊關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造有什么內(nèi)容呢?提及龐加萊關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造，就不得不說(shuō)起組合拓?fù)鋵W(xué)。他曾在6篇論文里創(chuàng)造了組合拓?fù)鋵W(xué)，并且，通過(guò)引進(jìn)貝蒂數(shù)、撓系數(shù)和基本群等一些概念，創(chuàng)造流形的三角剖分、單純復(fù)合形、重心重分、對(duì)偶復(fù)合形、復(fù)合形的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣等工具，并且憑借這些概念成立了歐拉—龐加萊公式，并對(duì)流形的同調(diào)對(duì)偶定理進(jìn)行了證明。除此之外，龐加萊對(duì)數(shù)學(xué)方面的創(chuàng)造還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)物理和偏微分方程方面所取得的成就。龐加萊使用括去法(sweepingout)證明了狄利克雷問(wèn)題解的存在。讓人感到驚喜的是，后來(lái)竟然推動(dòng)位勢(shì)論發(fā)展到了一個(gè)新的階段。在1881～1886年，龐加萊發(fā)表四篇論文，內(nèi)容是關(guān)于微分方程所確定的積分曲線，從而創(chuàng)立...

敘述經(jīng)典形式設(shè)p是一個(gè)大于等于1的實(shí)數(shù)，n是一個(gè)正整數(shù)。ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}是n維歐幾里得空間Rn{\displaystyle\mathbb{R}^{n}}上的一個(gè)子集開子集，并且其邊界是滿足利普希茲條件的區(qū)域（也就是說(shuō)它的邊界是一個(gè)利連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)的圖像）。在這種情況下，存在一個(gè)只與ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}常數(shù)p有關(guān)的常數(shù)C，使得對(duì)索伯列夫空間W1,p(ΩΩ-->){\displaystyle\mathbb{W}^{1,p}(\Omega)}中所有的函數(shù)u，都有：其中的∥∥-->??-->∥∥-->Lp{\displaystyle\|\cdot\|_{L^{p}}}指的是Lp空間之中的范數(shù)，是函數(shù)u在定義域ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}上的平均值，而|ΩΩ-->...