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黎曼曲面上的度量概要

復(fù)平面上的度量可寫成一般形式

這里 λ 是 z 與 zˉ ˉ -->{\displaystyle {\overline {z}}} 的一個實正函數(shù)。復(fù)平面上曲線 γ 的長度為

復(fù)平面上子集 M 之面積是

這里 ∧ ∧ -->{\displaystyle \wedge } 是用于構(gòu)造體積形式的外積。度量的行列式等于 λ λ -->4{\displaystyle \lambda ^{4}}，故而行列式的平方根是 λ λ -->2{\displaystyle \lambda ^{歐幾里得復(fù)平面上的歐幾里得體積形式為 dx∧ ∧ -->dy{\displaystyle dx\wedge dy}，從而我們有

函數(shù) Φ Φ -->(z,zˉ ˉ -->){\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})} 稱為度量的勢能（potential of the metric），如果

拉普拉斯–貝爾特拉米算子為

度量的高斯曲率由

給出，這個曲率是里奇數(shù)量曲率的一半。

等距保持角度與弧長。在黎曼曲面上，等距與坐標(biāo)變換等價：即拉普拉斯-貝爾特拉米算子與曲率在等距下不變。從而，比如設(shè) S 是一個黎曼曲面帶有度量 λ λ -->2(z,zˉ ˉ -->)dzdzˉ ˉ -->{\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}} 而 T 是帶有度量 μ μ -->2(w,wˉ ˉ -->)dwdwˉ ˉ -->{\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}} 的黎曼曲面，則映射

以及 f=w(z){\displaystyle f=w(z)} 是等距當(dāng)且僅當(dāng)它是共形的以及

在這里，映射為共形的也就是條件

即

龐加萊平面上的度量與體積元

龐加萊半平面模型中上半平面 H 的龐加萊度量張量為

這里我們記 dz=dx+idy{\displaystyle dz=dx+i\,dy}。這個度量張量在SL(2,R)的作用下不變。這就是，如果我們記

對 ad? ? -->bc=1{\displaystyle ad-bc=1}，則我們可算得

與

無窮小變換為

從而

這樣便清楚地表明度量張量在 SL(2,R) 的作用下不變。

不變體積元素為

對 z1,z2∈ ∈ -->H{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} } 度量為

度量的另一個有用的形式是用交比給出。給定緊化復(fù)平面C^ ^ -->=C∪ ∪ -->∞ ∞ -->{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty } 上任意四點 z1,z2,z3{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} 與z4{\displaystyle z_{4}}，交比定義為

那么度量用交比表示為

這里 z1× × -->{\displaystyle z_{1}^{\times }} 與 z2× × -->{\displaystyle z_{2}^{\times }} 是端點，位于實數(shù)軸上，測地線連接 z1{\displaystyle z_{1}} 與 z2{\displaystyle z_{2}}。這些點是有順序的故 z1{\displaystyle z_{1}} 位于 z1× × -->{\displaystyle z_{1}^{\times }} 與 z2{\displaystyle z_{2}} 之間。

這個度量張量的測地線是在兩個端點處垂直于實軸的圓弧（的一段），即端點位于實軸的上半圓周。

從平面到圓盤的共形映射

上半平面可以共形地映到單位圓盤，用莫比烏斯變換

這里單位圓盤上的點 w 對應(yīng)于上半平面上的點 z。在這個映射中，常數(shù) z0 可取上半平面上任何一點；這個點將映為圓盤的中心。實數(shù)軸 ? ? -->z=0{\displaystyle \Im z=0} 映為單位圓盤的邊界 |w|=1{\displaystyle |w|=1}。實常數(shù) ? ? -->{\displaystyle \phi } 將圓盤旋轉(zhuǎn)任意一個角度。

典范映射是

將 i 映為圓盤的中心，0 映為圓盤的最低點。

龐加萊圓盤上的度量與體積元素

龐加萊圓盤模型里的龐加萊度量張量在單位圓盤U={z=x+iy:|z|=(x2+y2)≤ ≤ -->1}{\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}} 上為

體積形式為

對 z1,z2∈ ∈ -->U{\displaystyle z_{1},z_{2}\in U} 的龐加萊度量為

這個度量張量的測地線是在端點處正交于圓盤邊界的圓弧。

穿孔圓盤模型

穿孔圓盤坐標(biāo)上的 J-不變量（J-invariant）；這是 nome 的一個函數(shù)。

龐加萊圓盤坐標(biāo)上的 J-不變量；注意這個圓盤比文中給出的典范坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)了90度。

第二個將上半平面映成圓盤是 q-映射：

這里 q 是 nome（Nome），τ τ -->{\displaystyle \tau } 是半周期比例（half-period ratio）。在上一節(jié)的記號中，τ τ -->{\displaystyle \tau } 是上半平面 ? ? -->τ τ -->>0{\displaystyle \Im \tau >0} 的坐標(biāo)。這個映射映到穿孔圓盤，因為值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的龐加萊度量在 q-圓盤上誘導(dǎo)一個度量

度量的勢能是

施瓦茨引理

龐加萊度量在調(diào)和函數(shù)上距離減小。這是施瓦茨引理的一個推廣，稱為施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。

另見

富克斯群（Fuchsian group）

富克斯模型（Fuchsian model）

克萊因群

克萊因模型

龐加萊圓盤模型

龐加萊半平面模型

本原測地線（Prime geodesic）

施瓦茨-阿爾福斯-皮克定理

引用

Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.

Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).

Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)

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