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性質(zhì)

萊布尼茲法則本身有一系列直接推論。首先，如果 x1, x2, … ,xn ∈ A，那么由數(shù)學(xué)歸納法得出

特別地，如果 A 可交換且 x1=x2=…=xn，那么此公式簡化成熟悉的冪法則 D(x) = nxD(x)。如果 A 是有單位的，則 D(1) = 0 因?yàn)?D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。從而，因 D 是 k-線性的，推出對所有 x∈k 有 D(x)=0。

如果 k ? K 是一個子環(huán)，A 是一個 K-代數(shù)，則有包含關(guān)系

因?yàn)槿魏?K-導(dǎo)子當(dāng)然是一個 k-導(dǎo)子。

從 A 到 M 的 k-導(dǎo)子的集合，Derk(A,M) 是 k-上的一個模。而且，k-模 Derk(A) 組成了一個李代數(shù)其李括號定義為交換子：

容易驗(yàn)證兩個導(dǎo)子的李括號仍然是一個導(dǎo)子。

分次導(dǎo)子

如果我們有一個分次代數(shù) A，D 是 A 上一個階數(shù) d = |D| 的齊次線性映射，則 D 是一個齊次導(dǎo)子如果

D(ab)=D(a)b+? ? -->|a||D|aD(b),? ? -->=± ± -->1{\displaystyle \scriptstyle {D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)},\epsilon =\pm 1} 作用在 A 的齊次元素上。一個分次導(dǎo)子是具有相同 ε 的一些齊次導(dǎo)子的和。

如果交換因子 ε = 1，定義變?yōu)橥ǔＧ樾?；如?ε = -1，那么對奇數(shù)|D| 有D(ab)=D(a)b+(? ? -->1)|a|aD(b){\displaystyle \scriptstyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}，它們稱為反導(dǎo)子。

反導(dǎo)子的例子包含作用在微分形式上的外導(dǎo)數(shù)與內(nèi)乘。

超代數(shù)（即：Z2-分次代數(shù)）的分次導(dǎo)子經(jīng)常稱為超導(dǎo)子。

另見

在初等微分幾何中導(dǎo)子是切向量；

凱勒微分

參考文獻(xiàn)

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