格拉斯曼流形
引言
通過給定子空間一個拓撲結構可以談論子空間的一個連續(xù)選取或子空間集合的一個開集或閉集;通過給它們一個微分流形結構可以考慮子空間的光滑選取。
一個自然的例子來自嵌入在歐幾里得空間中光滑流形的切叢。假設我們有一個 r 維流形 M 嵌入在 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中。在 M 中的每一點 x,M 的切叢可以視為 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的切空間(也是 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}})的一個子空間。將 x 分配為它切空間定義了一個 M 到 Grr(n) 的映射。(為此我們需要平移 M 在 x 處的切空間到原點,從而定義了一個 r-維向量子空間。這種想法非常類似于三維空間中曲面的高斯映射)。
這種想法廣泛地說可以推廣到一個流形 M 所有向量叢,這樣每個向量叢產(chǎn)生一個從 M 到一個合適的一般化格拉斯曼流形的連續(xù)映射——但是為此我們須證明不同的嵌入定理。我們?nèi)缓蟀l(fā)現(xiàn)我們的向量叢的性質(zhì)與對應的映射視為連續(xù)映射的性質(zhì)有關。特別的我們發(fā)現(xiàn),具有同倫的映射的向量叢是同構的。但是同倫的定義依賴于一個連續(xù)的概念,從而一個拓撲。
歷史
最簡單的非射影空間格拉斯曼流形是 Gr2(4){\displaystyle \mathrm {Gr} _{2}(4)}。這是尤里烏斯·普呂克(Julius Plücker)研究的,做為射影三維空間中的直線,他通過普呂克坐標參數(shù)化了這個空間。赫爾曼·格拉斯曼將普呂克的工作一般化為 n 維空間中的 r 平面。
低維數(shù)
當 k = 2 時,格拉斯曼流形是所有過原點平面的空間。在三維歐幾里得空間,一個平面完全由其一條垂線確定(反之亦然);從而 Gr2(3) 同構于 Gr1(3)(兩者都同構于實射影平面)。
格拉斯曼流形作為集合
設 V 是域 k 上有限維向量空間。格拉斯曼流形 Grr(V) 是 V 的所有 r-維線性子空間。它也記做 Gr(V), Gr(r, V) 或 G(r, V)。如果 V 的維數(shù)為 n,則格拉斯曼流形也記做 Gr(r, n) 或 G(r, n)。
V 的向量子空間等價于射影空間 PV 的線性子空間,故等價地可將格拉斯曼流形視為 PV 的線性子空間之集合。當格拉斯曼流形看成這樣時,經(jīng)常記做 Grr?1(PV),Gr?1(PV),Gr(r?1, n?1) 或 G(r?1, n?1)。
格拉斯曼流形作為齊性空間
給格拉斯曼流形一個幾何結構最快的方法是將其表述為一個齊性空間。首先,注意到一般線性群GL(V)傳遞作用于 V 的 r-維子空間上。從而,如果 H 是這個作用的穩(wěn)定子,我們有:
如果底域是 R 或 C 且將 GL(V) 視為一個李群,則這個構造將格拉斯曼流形變?yōu)橐粋€光滑流形。也可以利用其它群來構造。為此,取定一個 V 上的內(nèi)積。在 R 上我們將 GL(V) 換成正交群O(V),通過限制到正交標架,我們有等式
在 C 上,我們將 GL(V) 換為酉群U(V)。這說明格拉斯曼流形是緊致的。這些構造也使格拉斯曼流形成為一個度量空間:對 V 的一個子空間 W,令 PW 是 V 到 W 的投影。則
是 Grr(V) 上一個度量,這里 ∥ ∥ -->? ? -->∥ ∥ -->{\displaystyle \lVert \cdot \rVert } 表示算子范數(shù)。
如果底域 k 任意且將 GL(V) 視為一個代數(shù)群,則這種構造說明格拉斯曼是一個非奇異代數(shù)簇。還可以證明 H 是一個拋物型子群(parabolic subgroup),由此得出 Grr(V) 完備。
普呂克嵌入
普呂克嵌入是格拉斯曼流形到一個射影空間的自然嵌入:
假設 W 是 V 的一個 r-維子空間 V。為了定義 ψ(W),取 W 的一組基 w1, ..., wr,然后設 ψ(W) 是這些基元素的楔積:
W 的一組不同基給出不同的楔積,但兩個積只差一個非零數(shù)量(基變換矩陣的行列式)。因為右邊取值于一個射影空間,ψ 是良定義的。為了說明 ψ 是一個嵌入,注意到可由 ψ(W) 重新得到 W,W 是所有向量 w 使得 w ∧ ψ(W) = 0。
格拉斯曼的這個嵌入滿足一些非常簡單的二次多項式稱為普呂克關系。這說明了格拉斯曼流形作為一個一個代數(shù)子簇嵌入 P(∧V),這也給出構造格拉斯曼流形的另一個方法。為了表述普呂克關系,取 V 的兩個 r-維子空間 W 和 Z,它們的基分別為 w1, ..., wr 和 z1, ..., zr。那么對任何整數(shù) k ≥ 0,如下等式在 P(∧V) 的齊次坐標環(huán)中成立:
對偶性
V 的每個 r-維子空間 W 確定了 V 的一個 n-r-維商空間 V/W,這可寫成短正合序列:
取這三個空間的對偶以及線性變換得出 (V/W)* 在 V* 中的包含,其商為 W*:
利用有限維向量空間與二次對偶的自然同構,說明再取一次對偶得到了原來的短正合序列。從而 V 的 r-維子空間與 V* 的 n-r-維子空間存在一一對應。用格拉斯曼流形表示,這是典范同構
取 V 與 V* 的一個同構確定了 Grr(V) 與 Grn?r(V) 的一個(非典范)同構。這個同構將一個 r-維子空間變?yōu)樗膎?r-維正交補。
舒伯特胞腔
格拉斯曼流形]的一個詳細研究將其分解為叫做舒伯特胞腔的子集,最先應用于計數(shù)幾何(enumerative geometry)。Grr(n) 的舒伯特胞腔是用一個輔助性的旗(flag)定義:取子空間 V1, V2, ..., Vr,使得 Vi 包含于 Vi+1。然后,對 i = 1 到 r,我們考慮 Grr(n) 相應的子空間,由與 Vi 的交的維數(shù)至少為 i 的 W 組成。舒伯特胞腔的操作是舒伯特分析(Schubert calculus)。
這里是這種技術的一個例子??紤]確定 χ χ -->(Gn,r){\displaystyle \chi (G_{n,r})歐拉的歐拉示性的問題,這里是 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的 r-維子空間的格拉斯曼流形。取定 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的一個一維子空間 R{\displaystyle R},考慮 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的 r-維子空間是否包含 R{\displaystyle R},給出 Gn,r{\displaystyle G_{n,r}} 的一個分解。前者是 Gn? ? -->1,r? ? -->1{\displaystyle G_{n-1,r-1}},后者是 Gn? ? -->1,r{\displaystyle G_{n-1,r}} 上一個 r-維向量叢。這樣給出遞歸公式:
這里令 χ χ -->Gn,0=χ χ -->Gn,n=1{\displaystyle \chi G_{n,0}=\chi G_{n,n}=1}。如果解出這些遞歸關系,有公式:χ χ -->Gn,r=0{\displaystyle \chi G_{n,r}=0} 當且僅當 n{\displaystyle n} 是偶數(shù)且 r{\displaystyle r} 是奇數(shù)。另一方面,χ χ -->Gn,r=(? ? -->n2? ? -->? ? -->r2? ? -->).{\displaystyle \chi G_{n,r}={\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor \choose \lfloor {\frac {r}{2}}\rfloor }.}
伴隨測度
當 V"" 是一個 n-維歐幾里得空間,我們可以在 Gn,r{\displaystyle G_{n,r}} 上定義一個一致測度。設 θ θ -->n{\displaystyle \theta _{n}} 是正交群O(n){\displaystyle O(n)} 上的單位哈爾測度并取定 V∈ ∈ -->Gn,r{\displaystyle V\in G_{n,r}}。則對一個集合 A? ? -->Gn,r{\displaystyle A\subseteq G_{n,r}},定義
這個測度在群 O(n){\displaystyle O(n)} 的作用下不變,即 γ γ -->n,r(gA)=γ γ -->n,r(A){\displaystyle \gamma _{n,r}(gA)=\gamma _{n,r}(A)} 對所有 g∈ ∈ -->O(n){\displaystyle g\in O(n)} 成立。因為 θ θ -->n(O(n))=1{\displaystyle \theta _{n}(O(n))=1},我們有 γ γ -->n,r(Gn,r)=1{\displaystyle \gamma _{n,r}(G_{n,r})=1}。另外 γ γ -->n,r{\displaystyle \gamma _拉東測度}} 關于度量空間拓撲是一個拉東測度(Radon measure),且每個相同半徑(關于這個度量)的球有相同的測度——在此意義下該測度是一致的。
另見
格拉斯曼流形應用的例子,在微分幾何中參見高斯映射(Gauss map),在射影幾何中參見普呂克坐標。
旗流形(Flag manifold)是格拉斯曼流形的推廣,斯蒂弗爾流形是非常相關的。
給定一個特定的子空間類,我們可定義這種空間的格拉斯曼流形,比如拉格朗日格拉斯曼流形。
格拉斯曼流形給出了K-理論中的分類空間,特別是U(n)的分類空間(classifying space for U(n))。
參考文獻
Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer, New York, ISBN 0-387-97716-3
Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, (1995) Cambridge University Press, New York, ISBN 0-521-65595-1
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