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重力加速度

令 a 1 為事先已知質(zhì)點的重力加速度。由牛頓第二定律知 F = m 1 a 1 {\displaystyle F=m_{1}\ a_{1}} ， 即 a 1 = F m 1 {\displaystyle a_{1}={\frac {F}{m_{1}}}} 。取代前面方程中的 F

同理亦可得出 a 2 .

依照國際單位制，重力加速度（同其他一般加速度）的單位被規(guī)定為米每平方秒(m/s or m s )。非國際單位制的單位有伽利略、[單位g]（見后）以及 英尺每秒的平方。

請注意上述方程中的 a 1 ，質(zhì)量 m 1 的加速度，在實際上并不取決于 m 1 的取值，即重力加速度大小只與 m 2 和r有關(guān)。

具有空間廣度的物體

如果被討論的物體具有空間廣度（遠(yuǎn)大于理論上的質(zhì)點），它們之間的萬有引力可以以物體的各個等效質(zhì)點所受萬有引力之和來計算。在極限上，當(dāng)組成質(zhì)點趨近于“無限小”時，將需要求出兩物體間的力（矢量式見下文）在空間范圍上的積分。

從這里可以得出：如果物體的質(zhì)量分布呈現(xiàn)均勻球狀時，其對外界物體施加的萬有引力吸引作用將同所有的質(zhì)量集中在該物體的幾何中心 時的情況相同。（這不適用于非球狀對稱物體）。

矢量式

地球引力示意圖

地球附近空間內(nèi)的引力示意圖：在此數(shù)量級上地球表面的彎曲可被忽略不計，因此力線可以近似地相互平行并且指向地球的中心

牛頓萬有引力定律亦可通過矢量方程的形式進(jìn)行表述而用以計算萬有引力的方向和大小。在下列公式中，以粗體顯示的量代表矢量。

可以看出矢量式方程的形式與之前給出的標(biāo)量式方程相類似，區(qū)別僅在于在矢量式中的 F 是一個矢量，以及在矢量式方程的右端被乘上了相應(yīng)的單位矢量。而且，我們可以看出： F 12 = ? F 21 .

同樣，重力加速度的矢量式方程與其標(biāo)量式方程相類似：

引力場

球狀星團(tuán) M13 證明引力場的存在。

引力場是用于描述在任意空間內(nèi)某一點的物體每單位質(zhì)量所受萬有引力的矢量場。而在實際上等于該點物體所受的重力加速度。

以下是一個普適化的矢量式，可被應(yīng)用于多于兩個物體的情況（例如在地球與月球之間穿行的火箭）的計算。對于兩個物體的情況（比如說物體1是火箭，物體2是地球）來說，我們可以用 r {\displaystyle \mathbf {r} } 替代 r 21 {\displaystyle \mathbf {r} _{21}} 并用 m {\displaystyle m} 替代 m 1 {\displaystyle m_{1}} 來將引力場 g ( r ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )} 表示為：

因此我們可以得到：

該公式不受產(chǎn)生引力場的物體的限制。引力場的單位為力除以質(zhì)量的單位；在國際單位制上，被規(guī)定為N·kg （牛頓每千克）。

牛頓理論存在的問題

盡管牛頓對引力的描述對于眾多實踐運用來說十分地精確，但它也具有幾大理論問題且被證明是不完全正確的。

理論問題

沒有任何征兆表明引力的傳送媒介可以被識別出，牛頓自己也對這種無法說明的 超距作用 感到不滿意（參看后文條目“牛頓定律的局限性”）。

牛頓的理論需要定義引力可以瞬時傳播。因此給出了經(jīng)典自然時空觀的假設(shè)，這樣亦能使約翰內(nèi)斯·開普勒所觀測到的角動量守恒成立。但是，這與愛因斯坦的狹義相對論理論有直接的沖突，因為狹義相對論定義了速度的極限——真空中的光速——在此速度下信號可以被傳送。

觀測結(jié)果的不符

牛頓的理論并不能完全地解釋出水星在沿其軌道運動到近日點時出現(xiàn)的進(jìn)動現(xiàn)象 。牛頓學(xué)說的預(yù)言（由其它行星的引力拖拽產(chǎn)生）與實際觀察到的進(jìn)動相比每世紀(jì)會出現(xiàn)43弧秒的誤差。

牛頓的理論預(yù)言的引力作用下光線的偏折只有實際觀測結(jié)果的一半。廣義相對論則與觀察結(jié)果更為接近。

所有物體的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相同的這一觀測現(xiàn)象是牛頓的系統(tǒng)所不能解釋的。廣義相對論則將它作為一個基本條件。更多內(nèi)容，請參閱條目等效原理。

牛頓定律的局限性

當(dāng)牛頓非凡的工作使萬有引力定律能夠為數(shù)學(xué)公式所表示后，他仍然不滿于公式中所隱含的“超距作用”觀點。他從來沒有在他的文字中“賦予產(chǎn)生這種能力的原因”。在其它情況下，他使用運動的現(xiàn)象來解釋物體受到不同力的作用的原因，但是對于引力這種情況，他卻無法用實驗方法來確認(rèn)運動產(chǎn)生了引力。此外，他甚至還拒絕對這個由地面產(chǎn)生的力的起因提出假設(shè)，而這一切都違背了科學(xué)證據(jù)的原則。

牛頓對引力的發(fā)現(xiàn)埋葬了“哲學(xué)家至今仍在愚蠢地試圖探索自然”( philosophers have hitherto attempted the search of nature in vain )這句所謂的真理，就同他深信著的“有各種因素”使得“各種迄今未知的原因”是所有“自然現(xiàn)象”的基礎(chǔ)。這些基本的現(xiàn)象至今仍在研究中，而且，雖然存在著許多種的假設(shè)，最終答案仍然沒有找出。 雖然愛因斯坦的假設(shè)的確比牛頓的假設(shè)更能精確地解釋確定案例中萬有引力的作用效果，他也從來沒有在他的理論中為這種能力賦予一個原因。在愛因斯坦的方程中，“物質(zhì)告訴空間怎么扭曲，空間告訴物質(zhì)怎么移動”( matter tells space how to curve, and space tells matter how to move )，但是這個完全異于牛頓世界的新的思想，也不能使愛因斯坦所賦予“產(chǎn)生這種能力的原因”比萬有引力定律使牛頓所賦予的原因更能使空間產(chǎn)生扭曲。牛頓自己說：

如果科學(xué)最終能夠發(fā)現(xiàn)引力產(chǎn)生的原因的話，牛頓的希望也將最終被實現(xiàn)。

需要注意的是，這里使用的單詞“原因( cause )”并不是“起因( cause )和影響”或者“被告導(dǎo)致( cause )受害者死亡”中所表示的意義。何況，當(dāng)牛頓使用單詞“原因( cause )”時，他（明顯地）意指為一種“解釋”?；蛘哒f，像“牛頓學(xué)說的引力是行星運動的原因”這個短語的意思就是牛頓學(xué)說的引力解釋了行星的運動。參看條目因果。

參見

力

質(zhì)量

絕對時空觀

相對時空觀

廣義相對論

物理學(xué)定律列表

參考文獻(xiàn)

注解原理： - Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators:Isaac Newton, The Principia :Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton"s Principia , by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4

注解進(jìn)動： - Max Born (1924), Einstein"s Theory of Relativity (The 1962 Dover edition, page 348 lists a table documenting the observed and calculated values for the precession of the perihelion of Mercury, Venus, and Earth.)

注釋

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