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起源

牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數(shù)法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛頓死后的1736年公開發(fā)表）中提出。約瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法說明

藍(lán)線表示方程f{\displaystyle f}

而紅線表示切線?？梢钥闯鰔n+1{\displaystyle x_{n+1}}

比xn{\displaystyle x_{n}}

更靠近f{\displaystyle f}

所要求的根x{\displaystyle x}

。

首先，選擇一個(gè)接近函數(shù)f(x){\displaystyle f(x)}零點(diǎn)的x0{\displaystyle x_{0}}，計(jì)算相應(yīng)的f(x0){\displaystyle f(x_{0})}和切線斜率f′(x0){\displaystyle f"(x_{0})}（這里f′{\displaystyle f"}表示函數(shù)f{\displaystyle f}的導(dǎo)數(shù)）。然后我們計(jì)算穿過點(diǎn)(x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}并且斜率為f′(x0){\displaystyle f"(x_{0})}的直線和x{\displaystyle x}軸的交點(diǎn)的x{\displaystyle x}坐標(biāo)，也就是求如下方程的解：

我們將新求得的點(diǎn)的x{\displaystyle x}坐標(biāo)命名為x1{\displaystyle x_{1}}，通常x1{\displaystyle x_{1}}會(huì)比x0{\displaystyle x_{0}}更接近方程f(x)=0{\displaystyle f(x)=0}的解。因此我們現(xiàn)在可以利用x1{\displaystyle x_{1}}開始下一輪迭代。迭代公式可化簡(jiǎn)為如下所示：

已經(jīng)證明，如果f′{\displaystyle f"}是連續(xù)的，并且待求的零點(diǎn)x{\displaystyle x}是孤立的，那么在零點(diǎn)x{\displaystyle x}周圍存在一個(gè)區(qū)域，只要初始值x0{\displaystyle x_{0}}位于這個(gè)鄰近區(qū)域內(nèi)，那么牛頓法必定收斂。

并且，如果f′(x)≠ ≠ -->0{\displaystyle f"(x)\neq 0}，那么牛頓法將具有平方收斂的性能。粗略的說，這意味著每迭代一次，牛頓法結(jié)果的有效數(shù)字將增加一倍。

其它例子

第一個(gè)例子

求方程cos? ? -->(x)? ? -->x3=0{\displaystyle \cos(x)-x^{3}=0}的根。令f(x)=cos? ? -->(x)? ? -->x3{\displaystyle f(x)=\cos(x)-x^{3}}，兩邊求導(dǎo)，得f′(x)=? ? -->sin? ? -->(x)? ? -->3x2{\displaystyle f"(x)=-\sin(x)-3x^{2}}。由于? ? -->1≤ ≤ -->cos? ? -->(x)≤ ≤ -->1(? ? -->x){\displaystyle -1\leq \cos(x)\leq 1(\forall x)}，則? ? -->1≤ ≤ -->x3≤ ≤ -->1{\displaystyle -1\leq x^{3}\leq 1}，即? ? -->1≤ ≤ -->x≤ ≤ -->1{\displaystyle -1\leq x\leq 1}，可知方程的根位于0{\displaystyle 0}和1{\displaystyle 1}之間。我們從x0=0.5{\displaystyle x_{0}=0.5}開始。

第二個(gè)例子

牛頓法亦可發(fā)揮與泰勒展開式，對(duì)于函式展開的功能。

求a{\displaystyle a}的m{\displaystyle m}次方根。

xm? ? -->a=0{\displaystyle x^{m}-a=0}

設(shè)f(x)=xm? ? -->a{\displaystyle f(x)=x^{m}-a}，f′(x)=mxm? ? -->1{\displaystyle f"(x)=mx^{m-1}}

而a的m次方根，亦是x的解，

以牛頓法來迭代：

xn+1=xn? ? -->f(xn)f′(xn){\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f"(x_{n})}}}

xn+1=xn? ? -->xnm? ? -->amxnm? ? -->1{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{m}-a}{mx_{n}^{m-1}}}}

xn+1=xn? ? -->xnm(1? ? -->axn? ? -->m){\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}}{m}}(1-ax_{n}^{-m})}

（或 xn+1=xn? ? -->1m(xn? ? -->axnxnm){\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1}{m}}\left(x_{n}-a{\frac {x_{n}}{x_{n}^{m}}}\right)}）

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