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概率分布、概率密度以及分位數(shù)函數(shù)

如果隨機變量的概率密度函數(shù)分布為

那么它就是拉普拉斯分布。其中， μ 是位置參數(shù)， b > 0 是尺度參數(shù)。如果 μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度為 1/2 的指數(shù)分布。

拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)讓我們聯(lián)想到正態(tài)分布，但是， 正態(tài)分布 是用相對于 μ 平均值的差的平方 來表示，而 拉普拉斯概率密度 用相對于 平均值的差的絕對值 來表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正態(tài)分布更加平坦。

根據(jù)絕對值函數(shù)，如果將一個拉普拉斯分布分成兩個對稱的情形，那么很容易對拉普拉斯分布進行積分。它的累積分布函數(shù)為：

逆累積分布函數(shù)為

生成拉普拉斯變量

已知區(qū)間 (-1/2, 1/2] 中均勻分布上的隨機變量 U ，隨機變量

為參數(shù) μ 與 b 的拉普拉斯分布。根據(jù)上面的逆累計分布函數(shù)可以得到這樣的結果。

當兩個相互獨立同分布指數(shù)(1/ b )變化的時候也可以得到 Laplace(0, b ) 變量。同樣，當兩個相互獨立同分布一致變量的比值變化的時候也可以得到 Laplace(0, 1) 變量。

相關分布

如果 Y = | X ? ? --> μ μ --> | {\displaystyle Y=|X-\mu |} 并且 X ～ ～ --> L a p l a c e {\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} } ，則 Y ～ ～ --> E x p o n e n t i a l {\displaystyle Y\sim \mathrm {Exponential} } 是指數(shù)分布。

如果 Y = X 1 ? ? --> X 2 {\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}} 與 X 1 , X 2 ～ ～ --> E x p o n e n t i a l {\displaystyle X_{1},\,X_{2}\sim \mathrm {Exponential} } ，則 Y ～ ～ --> L a p l a c e {\displaystyle Y\sim \mathrm {Laplace} } 。

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