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公式

設(shè)B = (bij)是一個n × n矩陣。B關(guān)于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的（i，j）余子式。B的（i，j）代數(shù)余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij與(?1)的乘積：Cij = (?1)Mij

拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出，為如下公式：對于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：

例子

考慮以下的矩陣：

這個矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開式來計算：

也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開式來計算：

很容易看到這個結(jié)果是正確的：這個矩陣是奇異的，因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例，因此它的行列式是零。

證明

設(shè)B是一個n × n的矩陣，i、j ∈ {1, 2, ..., n}。為了明確起見，將Mij{\displaystyle M_{ij}}的系數(shù)記為(ast){\displaystyle (a_{st})}，其中1 ≤ s,t ≤ n ? 1.

考慮B的行列式|B|中的每個含有bij{\displaystyle b_{ij}}的項，它的形式為：

其中的置換τ ∈Sn使得τ(i) = j，而σ ∈ Sn-1是唯一的將除了i以外的其他元素都映射到與τ相同的像上去的置換。顯然，每個τ都對應(yīng)著唯一的σ，每一個σ也對應(yīng)著唯一的τ。因此我們創(chuàng)建了Sn ? 1與{τ ∈ Sn : τ(i) = j}之間的一個雙射。置換τ可以經(jīng)過如下方式從σ得到：

定義σ" ∈ Sn使得對于1 ≤ k ≤ n ? 1，σ"(k) = σ(k)并且σ"(n) = n，于是sgn σ" = sgn σ。然后

由于兩個輪換分別可以被寫成n ? i和n ? j個對換，因此

因此映射σ ? τ是雙射。由此，

從而拉普拉斯展開成立。

拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開的一般形式，現(xiàn)在稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基礎(chǔ)上，說明了如果將B關(guān)于某k行的每一個子式和對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積加起來，那么得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開的情況一樣，都是通過建立置換間的雙射來證明兩者相等。

參考來源

拉普拉斯定理

線性代數(shù)發(fā)展史

行列式的展開定理

戴立輝，線性代數(shù)，同濟(jì)大學(xué)出版社，2007.

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