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形式定義

對(duì)于所有實(shí)數(shù) t ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle t\geq 0} ，函數(shù) f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的拉普拉斯變換是函數(shù) F ( s ) {\displaystyle F(s)} ，定義為：

參數(shù) s {\displaystyle s} 是一個(gè)復(fù)數(shù)：

拉普拉斯變換的其他表示法中使用 L f {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}f} 或 L t { f ( t ) } {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}_{t}\left\{f(t)\right\}} 而非 F {\displaystyle F} 。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)。

積分的含義取決于函數(shù)的類型。該積分存在的一個(gè)必要條件是在 f {\displaystyle f} 必須在 [ 0 , ∞ ∞ --> ) {\displaystyle [0,\infty )} 上局部可積。對(duì)在無(wú)窮大處衰減的局部可積函數(shù)或 指數(shù)式 （ 英語(yǔ) ： exponential type ） ，該積分可以理解為（勒貝格積分格積分。然而，在很多應(yīng)用中有必要將其視作在 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } 反常積分?jǐn)康姆闯７e分。更一般的，積分可以在較弱的意義上理解，在下面會(huì)去處理。

可以用勒貝格積分定義拉普拉斯變換為有限博雷爾測(cè)度 μ μ --> {\displaystyle \mu }

一種特殊情況是當(dāng) μ μ --> {\displaystyle \mu } 為概率測(cè)度，或者更具體地說，狄拉克狄拉克 δ δ --> {\displaystyle \delta } 函數(shù)]]時(shí)。在 運(yùn)算微積 （ 英語(yǔ) ： operational calculus ） 中，拉普拉斯變換的測(cè)度常常被視作由分布函數(shù) f {\displaystyle f} 帶來(lái)的測(cè)度。在這種情況下，為了避免混淆，一般寫作

其中是 0 的下限的簡(jiǎn)化符號(hào)

這個(gè)極限強(qiáng)調(diào)任何位于 0 的質(zhì)點(diǎn)都被拉普拉斯變換完全捕獲。雖然使用勒貝格積分，沒有必要取這個(gè)極限，但它可以更自然地與 拉普拉斯–斯蒂爾吉斯變換 （ 英語(yǔ) ： Laplace–Stieltjes transform ） 建立聯(lián)系。

拉普拉斯逆變換

兩個(gè)相異的可積函數(shù)，只有在其差的勒貝格測(cè)度為零時(shí)，才會(huì)有相同的拉普拉斯變換。因此以轉(zhuǎn)換的角度而言，存在其反轉(zhuǎn)換。包括可積分函數(shù)在內(nèi)，拉普拉斯變換是單射映射，將一個(gè)函數(shù)空間映射到其他的函數(shù)空間。典型的函數(shù)空間包括有界連續(xù)函數(shù)、函數(shù)空間L ∞ (0, ∞)、或是更廣義，在 (0, ∞) 區(qū)間內(nèi)的緩增廣義函數(shù)（函數(shù)的最壞情形是多項(xiàng)式增長(zhǎng)）。

拉普拉斯逆變換 （ 英語(yǔ) ： Inverse Laplace transform ） 有許多不同的名稱，如 維奇積分 、 傅立葉-梅林積分 、 梅林逆公式 ，是一個(gè)復(fù)積分：

其中 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 是一個(gè)使 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 的積分路徑在收斂域內(nèi)的實(shí)數(shù)。另一個(gè)拉普拉斯逆變換的公式是由 Post反演公式 （ 英語(yǔ) ： Post"s inversion formula ） 而來(lái)。

在實(shí)務(wù)上一般會(huì)配合查表，將函數(shù)的拉普拉斯變換分換為許多已知函數(shù)的拉普拉斯變換，再利用觀察的方式產(chǎn)生其拉普拉斯逆變換。在微分方程中會(huì)用到拉普拉斯逆變換，會(huì)比用傅里葉轉(zhuǎn)換的處理方式要簡(jiǎn)單。

性質(zhì)和定理

函數(shù) f ( t ) {\displaystyle f(t)} 和 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的拉普拉斯變換分別為 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 和 G ( s ) {\displaystyle G(s)} ：

下面的表格是一系列單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)：

初值定理：

終值定理：

與冪級(jí)數(shù)的關(guān)系

拉普拉斯變換可以看成是冪級(jí)數(shù)的一個(gè)連續(xù)模擬。如果 a ( n ) 是正整數(shù) n 的一個(gè)離散函數(shù)，那么與 a ( n ) 相關(guān)的冪級(jí)數(shù)為

其中 x 是實(shí)變量（參見Z變換）。將對(duì) n 的加和替換成對(duì) t 的積分，則此冪級(jí)數(shù)的連續(xù)形式為

其中離散型函數(shù) a ( n ) 被替換成連續(xù)型的 f ( t )。（參見下文梅林變換。）改變冪的基底 x 為 e 得

要使這個(gè)積分對(duì)任何有界函數(shù) f 都收斂，就需要滿足 log ? ? --> x < 0 {\displaystyle \log {x}<0} 。使用 ? s = log x 代換就能得到拉普拉斯變換：

換句話說，拉普拉斯變換是冪級(jí)數(shù)的一個(gè)連續(xù)模擬，只是把離散參數(shù) n 換成了連續(xù)變量 t ， x 換成了 e 。

與矩的關(guān)系

函數(shù) f 的 矩 為

如果 f 的前 n 階矩絕對(duì)收斂，則通過反復(fù)在積分符號(hào)內(nèi)取微分，就得到 ( ? ? --> 1 ) n ( L f ) ( n ) ( 0 ) = μ μ --> n {\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}} 。這在概率論里是有特別重要的意義的，其中隨機(jī)變量 X 的矩是 μ μ --> n = E [ X n ] {\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]} 。下面的關(guān)系成立：

證明函數(shù)導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換

很方便用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)來(lái)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變換。從拉普拉斯變換的基本表達(dá)式就可以推導(dǎo)如下：

導(dǎo)出

而在雙邊的情形下，

一般化的結(jié)果是

其中 f 表示 f 的 n 階導(dǎo)數(shù)，可以由歸納假設(shè)得出。

計(jì)算廣義積分

令 L { f ( t ) } = F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)} ，則（參見上面的表格）

或

令 s → 0，假定可以改變?nèi)O限順序，就得到性質(zhì)

即便在不可以交換，此計(jì)算依然有暗示性。例如，形式上按此計(jì)算得到

這個(gè)性質(zhì)的正確性可以用其他方法證明。它是傅汝蘭尼積分（Frullani integral）的一個(gè)例子。

例子還有狄利克雷積分。

與其他變換的聯(lián)系

與傅里葉變換關(guān)系

連續(xù)傅里葉變換相當(dāng)于計(jì)算令 s = i ω 或 s = 2πfi 的雙邊拉普拉斯變換：

與z變換的聯(lián)系

z 變換表達(dá)式為：

其中 z ← ← --> e s T {\displaystyle z\leftarrow e^{sT}\ } . 比較兩者表達(dá)式有：

拉普拉斯變換簡(jiǎn)表

下表提供了許多常用單變量函數(shù)的拉普拉斯變換。 對(duì)于定義和解釋，請(qǐng)參見表末的 注釋 。

由于拉普拉斯變換是一個(gè)線性算子：

和的拉普拉斯變換等于各項(xiàng)的拉普拉斯變換的總和。

一個(gè)函數(shù)的倍數(shù)的拉普拉斯變換等于該函數(shù)的拉普拉斯變換的倍數(shù)。

使用這個(gè)線性性質(zhì) ，以及各種三角、雙曲、和復(fù)數(shù)（等）的性質(zhì)，可以從其他拉普拉斯變換得到一些拉普拉斯變換，這會(huì)比直接通過使用定義更快。

單邊拉普拉斯變換取時(shí)域?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)的函數(shù)作為輸入，這就是下表中所有時(shí)域函數(shù)都乘以單位階躍函數(shù)u( t ) 的原因。表中涉及時(shí)間延遲 τ 的條目必須是因果的 （即 τ > 0）。因果系統(tǒng)是 t = 0 之前的沖激響應(yīng) h ( t ) 都為零的一個(gè)系統(tǒng)。在一般情況下，因果系統(tǒng)的收斂區(qū)域和反因果系統(tǒng)是不相同的。

變換及其性質(zhì)的應(yīng)用實(shí)例

拉普拉斯變換在物理學(xué)和工程中是常用的；線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出可以通過卷積單位脈沖響應(yīng)與輸入信號(hào)來(lái)計(jì)算，而在拉氏空間中執(zhí)行此計(jì)算將卷積通過轉(zhuǎn)換成乘法來(lái)計(jì)算。后者是更容易解決，由于它的代數(shù)形式。

拉普拉斯變換也可以用來(lái)解決微分方程，這被廣泛應(yīng)用于電氣工程。拉普拉斯變換把線性差分方程化簡(jiǎn)為代數(shù)方程，這樣就可以通過代數(shù)規(guī)則來(lái)解決。原來(lái)的微分方程可以通過施加逆拉普拉斯變換得到其解。英國(guó)電氣工程師奧利弗·黑維塞第一次提出了一個(gè)類似的計(jì)劃，雖然沒有使用拉普拉斯變換；以及由此產(chǎn)生的演算被譽(yù)為黑維塞演算。

在工程學(xué)上的應(yīng)用

應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表示，對(duì)于分析系統(tǒng)特性，系統(tǒng)穩(wěn)定有著重大意義；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。

相關(guān)條目

z轉(zhuǎn)換

微分方程

傅里葉變換

微分幾何中的拉普拉斯算子

控制理論

信號(hào)處理

線性系統(tǒng)

雙邊拉普拉斯變換

參考書目、資料來(lái)源

電機(jī)電子類科《工程數(shù)學(xué)》，ISBN 957-584-377-0，作者陳錫冠、胡曦、周禎暉老師，高立出版社。

Korn, G. A.; Korn, T. M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 2nd, McGraw-Hill Companies, 1967, ISBN 0-07-035370-0 .

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