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  ROC用藍(lán)色表示，單位圓用灰色虛點(diǎn)圓表示（外圈者，而 | z | = 0.5 這個(gè)圓用虛線圓表示（內(nèi)圈者）

  ROC用藍(lán)色表示，單位圓用灰色虛點(diǎn)圓表示（用眼睛看會(huì)呈紅色），而 | z | = 0.5 這個(gè)圓用虛線圓表示

  ROC表示為藍(lán)色圓環(huán) 0.5 z|在有多個(gè)極點(diǎn)的系統(tǒng)中，收斂域可以既不包含 | z | = ∞ 也不包含 | z | = 0。畫(huà)出的收斂域與一個(gè)圓形帶。例如，x [ n ] = 0.5 n u [ n ] ? ? --> 0.75 n u [ ? ? --> n ? ? --> 1 ] {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]} 的極點(diǎn)為 0.5 與 0.75。收斂域會(huì)是 0.5 < | z | 0.5 包含單位圓。如果給定一個(gè)沒(méi)有收斂域的Z變換（即模糊的 x[n] ），可以確定一個(gè)唯一的 x[n] 滿足下列：如果你要穩(wěn)定性，收斂域必須包含單位圓；如果你需要一個(gè)因果系統(tǒng)，收斂域必須包含無(wú)窮大，并且系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)為一個(gè)右邊序列。如果你需要一個(gè)非因果系統(tǒng)，那么收斂域必須包含原點(diǎn)，且系統(tǒng)函數(shù)為左邊序列。如果你既要穩(wěn)定性，也要因果性，系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)?？梢哉业轿ㄒ坏?x[n] 。性質(zhì) 帕塞瓦爾定理∑ ∑ --> n = ? ? --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> x 1 [ n ] x 2 ? ? --> [ n ] = 1 j 2 π π --> ∮ C X 1 ( v ) X 2 ? ? --> ( 1 v ? ? --> ) v ? ? --> 1 d v {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm jtq63mr v} 初值定理 ：如果 x [ n ] 為因果的，那么x [ 0 ] = lim z → → --> ∞ ∞ --> X ( z ) . {\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).} 終值定理 ：如果 ( z ?1) X ( z ) 的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，則x [ ∞ ∞ --> ] = lim z → → --> 1 ( z ? ? --> 1 ) X ( z ) . {\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).} 常見(jiàn)的Z變換對(duì)表 這里：u : n ? ? --> u [ n ] = { 1 , n ≥ ≥ --> 0 0 , n < 0 {\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n : n ? ? --> δ δ --> [ n ] = { 1 , n = 0 0 , n ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}} 是離散時(shí)間單位沖激函數(shù)。兩者通常都不認(rèn)為是真正的函數(shù)，但由于它們的不連續(xù)性把它們看成是分布（它們?cè)?n = 0 處的值通常無(wú)關(guān)緊要，除非在處理離散時(shí)間的時(shí)候，它們會(huì)變成衰減離散級(jí)數(shù)；在本章節(jié)中對(duì)連續(xù)和離散時(shí)間域，都在 n = 0 處取 1，否則不能使用下表中收斂域一欄的內(nèi)容）。同時(shí)列出兩個(gè)“函數(shù)”，使得（在連續(xù)時(shí)間域）單位階躍函數(shù)是單位沖激函數(shù)的積分，或（在離散時(shí)間域）單位階躍函數(shù)是單位沖激函數(shù)的求和，因此要令他們的值在 n = 0 處為 1。與傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系 對(duì)于區(qū)域 |z|=1（稱為單位圓）內(nèi)的 z 值，我們可以通過(guò)定義 z=e 來(lái)用單一實(shí)變量的函數(shù)來(lái)表示該變換。于是雙邊變換就簡(jiǎn)化為了傅里葉級(jí)數(shù)： 也被稱作 x[n] 序列的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）。這個(gè)以 2π 為周期的函數(shù)是傅里葉變換的 周期性求和 （ 英語(yǔ) ： periodic summation ） ，這使得它成為廣泛使用的分析工具。要理解這一點(diǎn)，令 X(f) 為任意函數(shù) x(t) 的傅里葉變換，該函數(shù)以某個(gè)間隔 T 采樣就與 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以寫(xiě)作：∑ ∑ --> n = ? ? --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> x ( n T ) ? ? --> x [ n ] e ? ? --> j 2 π π --> f n T ? ? --> DTFT = 1 T ∑ ∑ --> k = ? ? --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> X ( f ? ? --> k / T ) . {\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).} 若T的單位是秒， f {\displaystyle \textstyle f} 的單位即為赫茲。比較兩個(gè)數(shù)列可得 ω ω --> = 2 π π --> f T {\displaystyle \textstyle \omega =2\pi fT} 為 標(biāo)準(zhǔn)化頻率 （ 英語(yǔ) ： Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations ） ，單位是radians per sample。數(shù)值ω=2π對(duì)應(yīng) f = 1 T {\displaystyle \textstyle f={\frac {1}{T}}} Hz. ，而且在替換 f = ω ω --> 2 π π --> T , {\displaystyle \textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},} 后， Eq.1 可以表示為傅里葉變換X(?) : ∑ ∑ --> n = ? ? --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> x [ n ] e ? ? --> j ω ω --> n = 1 T ∑ ∑ --> k = ? ? --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> X ( ω ω --> 2 π π --> T ? ? --> k T ) ? ? --> X ( ω ω --> ? ? --> 2 π π --> k 2 π π --> T ) . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.} 若數(shù)列x(nT)表示線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，這些函數(shù)也稱為頻率響應(yīng)，當(dāng)x(nT)是周期性數(shù)列，其DTFT在一或多個(gè)共振頻率發(fā)散，在其他頻率均為零。這一般會(huì)用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函數(shù)表示。因?yàn)槠渲芷谛裕粫?huì)有有限個(gè)振幅，可以用較簡(jiǎn)單許多的離散傅里葉變換來(lái)計(jì)算。（參照離散傅里葉變換#周期性）和拉氏變換的關(guān)系 雙線性變換 雙線性變換可以用在連續(xù)時(shí)間濾波器（用拉氏域表示）和離散時(shí)間濾波器（用Z域表示）之間的變換，其變換關(guān)系如下：s = 2 T ( z ? ? --> 1 ) ( z + 1 ) {\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}} 將一個(gè)拉氏域的函數(shù) H ( s ) {\displaystyle H(s)} 變換為Z域下的 H ( z ) {\displaystyle H(z)} ，或是z = 2 + s T 2 ? ? --> s T {\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}} 從Z域變換到拉氏域。借由雙線性變換，復(fù)數(shù)的s平面（拉氏變換）可以映射到復(fù)數(shù)的z平面（Z變換）。這個(gè)變換是非線性的，可以將S平面的整個(gè) j Ω軸映射到Z平面的單位圓內(nèi)。因此，傅里葉變換（在 j Ω axis計(jì)算的拉氏變換）變成離散時(shí)間傅里葉變換，前提是假設(shè)其傅里葉變換存在，也就是拉氏變換的收斂區(qū)域包括 j Ω軸。線性常系數(shù)差分方程 線性常系數(shù)差分（LCCD）方程是基于自回歸滑動(dòng)平均的線性系統(tǒng)表達(dá)形式。∑ ∑ --> p = 0 N y [ n ? ? --> p ] α α --> p = ∑ ∑ --> q = 0 M x [ n ? ? --> q ] β β --> q {\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}} 上面等式兩邊可以同時(shí)除以 α 0 ，如果非零，正規(guī)化 α 0 = 1，LCCD方程可以寫(xiě)成y [ n ] = ∑ ∑ --> q = 0 M x [ n ? ? --> q ] β β --> q ? ? --> ∑ ∑ --> p = 1 N y [ n ? ? --> p ] α α --> p . {\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.} LCCD方程的這種形式有利于更加明確“當(dāng)前”輸出 y[n] 是過(guò)去輸出 y[n?p] 、當(dāng)前輸入 x[n] 與之前輸入 x[n?q] 的一個(gè)函數(shù)。傳遞函數(shù) 對(duì)上述方程去Z變換（使用線性和時(shí)移法則）得到Y(jié) ( z ) ∑ ∑ --> p = 0 N z ? ? --> p α α --> p = X ( z ) ∑ ∑ --> q = 0 M z ? ? --> q β β --> q {\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}} 整理結(jié)果H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ ∑ --> q = 0 M z ? ? --> q β β --> q ∑ ∑ --> p = 0 N z ? ? --> p α α --> p = β β --> 0 + z ? ? --> 1 β β --> 1 + z ? ? --> 2 β β --> 2 + ? ? --> + z ? ? --> M β β --> M α α --> 0 + z ? ? --> 1 α α --> 1 + z ? ? --> 2 α α --> 2 + ? ? --> + z ? ? --> N α α --> N . {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.} 零點(diǎn)和極點(diǎn) 由代數(shù)基本定理得知分子有 M 個(gè)根（對(duì)應(yīng)于 H 的零點(diǎn)）和分母有 N 個(gè)根（對(duì)應(yīng)于極點(diǎn)）。用極點(diǎn)和零點(diǎn)重新整理傳遞函數(shù)為H ( z ) = ( 1 ? ? --> q 1 z ? ? --> 1 ) ( 1 ? ? --> q 2 z ? ? --> 1 ) ? ? --> ( 1 ? ? --> q M z ? ? --> 1 ) ( 1 ? ? --> p 1 z ? ? --> 1 ) ( 1 ? ? --> p 2 z ? ? --> 1 ) ? ? --> ( 1 ? ? --> p N z ? ? --> 1 ) {\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}} 其中 q k 為 k 階零點(diǎn)， p k 為 k 階極點(diǎn)。零點(diǎn)和極點(diǎn)通常是復(fù)數(shù)，當(dāng)在復(fù)平面（z平面）作圖時(shí)稱為 零極點(diǎn)圖 （ 英語(yǔ) ： pole–zero plot ） 。此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零點(diǎn)和極點(diǎn)。如果我們把這些極點(diǎn)和零點(diǎn)以及高階零點(diǎn)和極點(diǎn)考慮在內(nèi)的話，零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目總會(huì)相等。通過(guò)對(duì)分母因式分解，可以使用部分分式分解可以轉(zhuǎn)換回時(shí)域。這樣做會(huì)導(dǎo)出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和線性常系數(shù)差分方程。輸出響應(yīng) 如果一個(gè)系統(tǒng) H(z) 由信號(hào) X(z) 驅(qū)動(dòng)，那么輸出為 Y(z) = H(z)X(z) 。通過(guò)對(duì) Y(z) 部分分式分解并取逆Z變換可以得到輸出 y[n] 。在實(shí)際運(yùn)用中，在分式分解 Y ( z ) z {\displaystyle {\frac {Y(z)}{z}}} 之后再乘 z 產(chǎn)生 Y(z) 的一個(gè)形式（含有很容易計(jì)算逆Z變換的項(xiàng)）往往很有用。參見(jiàn) 延伸閱讀 外部鏈接