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形式定義對(duì)于所有實(shí)數(shù)t≥≥-->0{\displaystylet\geq0}，函數(shù)f(t){\displaystylef(t)}的拉普拉斯變換是函數(shù)F(s){\displaystyleF(s)}，定義為：參數(shù)s{\displaystyles}是一個(gè)復(fù)數(shù)：拉普拉斯變換的其他表示法中使用Lf{\displaystyle\displaystyle{\mathcal{L}}f}或Lt{f(t)}{\displaystyle\displaystyle{\mathcal{L}}_{t}\left\{f(t)\right\}}而非F{\displaystyleF}。L{\displaystyle{\mathcal{L}}}是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)。積分的含義取決于函數(shù)的類型。該積分存在的一個(gè)必要條件是在f{\displaystylef}必須在[0,∞∞-->){\displaystyle[0,\inf...

原文引述拉普拉斯堅(jiān)信決定論，他在他的概率論（Essaiphilosophiquesurlesprobabilités）導(dǎo)論部分說：“Nousdevonsdoncenvisagerl"étatprésentdel"univers,commel"effetdesonétatantérieur,etcommelacausedeceluiquivasuivre.Uneintelligencequipouruninstantdonné,conna?traittouteslesforcesdontlaNatureestanimée,etlasituationrespectivedesêtresquilacomposent,sid"ailleu...

公式設(shè)B=(bij)是一個(gè)n×n矩陣。B關(guān)于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1階子矩陣的行列式。有時(shí)可以簡(jiǎn)稱為B的（i，j）余子式。B的（i，j）代數(shù)余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij與(?1)的乘積：Cij=(?1)Mij拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出，為如下公式：對(duì)于任意i,j∈{1,2,...,n}：例子考慮以下的矩陣：這個(gè)矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開式來計(jì)算：也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開式來計(jì)算：很容易看到這個(gè)結(jié)果是正確的：這個(gè)矩陣是奇異的，因?yàn)樗牡谝涣泻偷谌械暮团c第二列成比例，因此它的行列式是零。證明設(shè)B是一個(gè)n×n的矩陣，i、j∈{1,2,...,n}。為了明確起見，將Mij{\displaystyleM_{ij}}的系數(shù)記為(ast){\displaystyle(a_{st})}，其中1≤s...

定義拉普拉斯算子是n維歐幾里得空間中的一個(gè)二階微分算子，定義為梯度（??-->f{\displaystyle\nablaf}散度的散度（??-->??-->??-->f{\displaystyle\nabla\cdot\nablaf}）。因此如果f是二階可微的實(shí)函數(shù)，則f的拉普拉斯算子定義為：f的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標(biāo)系xi{\displaystylex_{i}}中的所有非混合二階偏導(dǎo)數(shù)：作為一個(gè)二階微分算子，拉普拉斯算子把C函數(shù)映射到C函數(shù)，對(duì)于k≥2。表達(dá)式（(1)或(2)）定義了一個(gè)算子Δ：C(R)→C(R)，或更一般地，定義了一個(gè)算子Δ：C(Ω)→C(Ω)，對(duì)于任何開集Ω。函數(shù)的拉普拉斯算子也是該函數(shù)的黑塞矩陣的跡：坐標(biāo)表示式二維空間三維空間N維空間在參數(shù)方程為x=rθθ-->∈∈-->RN{\displaystylex=r\theta\in...

概率分布、概率密度以及分位數(shù)函數(shù)如果隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)分布為那么它就是拉普拉斯分布。其中，μ是位置參數(shù)，b>0是尺度參數(shù)。如果μ=0，那么，正半部分恰好是尺度為1/2的指數(shù)分布。拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)讓我們聯(lián)想到正態(tài)分布，但是，正態(tài)分布是用相對(duì)于μ平均值的差的平方來表示，而拉普拉斯概率密度用相對(duì)于平均值的差的絕對(duì)值來表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正態(tài)分布更加平坦。根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)，如果將一個(gè)拉普拉斯分布分成兩個(gè)對(duì)稱的情形，那么很容易對(duì)拉普拉斯分布進(jìn)行積分。它的累積分布函數(shù)為：逆累積分布函數(shù)為生成拉普拉斯變量已知區(qū)間(-1/2,1/2]中均勻分布上的隨機(jī)變量U，隨機(jī)變量為參數(shù)μ與b的拉普拉斯分布。根據(jù)上面的逆累計(jì)分布函數(shù)可以得到這樣的結(jié)果。當(dāng)兩個(gè)相互獨(dú)立同分布指數(shù)(1/b)變化的時(shí)候也可以得到Laplace(0,b)變量。同樣，當(dāng)兩個(gè)相互獨(dú)立同分布一致變量的比值變化的時(shí)候也可以得到L...