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歷史

美國(guó)科學(xué)家與政治家富蘭克林于1747年與朋友通信：

學(xué)術(shù)界歸功富蘭克林為這定律的創(chuàng)建者?！案惶m克林電荷守恒定律”表明，在任何絕緣系統(tǒng)內(nèi)，總電荷量不變。

電磁學(xué)表述

流入某體積V{\displaystyle \mathbb {V} }的凈電流為

其中，I{\displaystyle I}是電流，J{\displaystyle \mathbf {J} }是電流密度，S{\displaystyle \mathbb {S} }是包圍體積V{\displaystyle \mathbb {V} }的閉曲面，d2r{\displaystyle \mathrm dfqnjmj ^{2}\mathbf {r} }是微小面矢量元素，垂直于S{\displaystyle \mathbb {S} }從體積內(nèi)朝外指出。

應(yīng)用散度定理，將這方程寫為

總電荷量Q{\displaystyle Q}與體積V{\displaystyle \mathbb {V} }內(nèi)的電荷密度ρ ρ -->{\displaystyle \rho }的關(guān)系為

電荷守恒要求，流入體積V{\displaystyle \mathbb {V} }的凈電流，等于體積V{\displaystyle \mathbb {V} }內(nèi)總電荷量Q{\displaystyle Q}的變率：

所以，

對(duì)于任意體積V{\displaystyle \mathbb {V} }，上述方程都成立。所以，可以將被積式提取出來(lái)：

電荷守恒方程又稱為電荷連續(xù)方程。

在十九世紀(jì)中期，詹姆斯·麥克斯韋發(fā)現(xiàn)安培定律（原本形式）不能滿足電荷守恒的要求。于是，他將安培定律的方程加以修正為麥克斯韋-安培方程。由于這動(dòng)作，麥克斯韋發(fā)覺(jué)包括這方程在內(nèi)的麥克斯韋方程組，可以用來(lái)描述電磁波的物理行為，并且推導(dǎo)出電磁波以光速傳播于自由空間。因此，他正確地?cái)喽ü獠ㄊ且环N電磁波。更詳盡細(xì)節(jié)，請(qǐng)參閱條目麥克斯韋方程組。

確實(shí)無(wú)誤，麥克斯韋方程組已概括了電荷守恒方程。思考麥克斯韋-安培方程，

其中，B{\displaystyle \mathbf {B} }是磁場(chǎng)，μ μ -->0{\displaystyle \mu _{0}}是磁常數(shù)，? ? -->0{\displaystyle \epsilon _{0}}是電常數(shù)，E{\displaystyle \mathbf 電場(chǎng)} }是電場(chǎng)。

取這方程的散度，

應(yīng)用高斯定律，

所以，電荷守恒成立，

規(guī)范不變性

靜電學(xué)

在靜電學(xué)里，電勢(shì)乃是相對(duì)的，不是絕對(duì)的。假設(shè)在三維空間的電勢(shì)為? ? -->=f(r){\displaystyle \phi =f(\mathbf {r} )}，現(xiàn)將電勢(shì)加上一個(gè)常數(shù)c{\displaystyle c}，改為? ? -->′=f(r)+c{\displaystyle \phi "=f(\mathbf {r} )+c}，則電場(chǎng)不會(huì)改變，這性質(zhì)稱為規(guī)范不變性。由于這性質(zhì)，必需先設(shè)定在某參考位置的電勢(shì)，在其它位置的電勢(shì)才具有真實(shí)物理意義。因此，每一條方程只會(huì)涉及到相對(duì)電勢(shì)，不會(huì)涉及到絕對(duì)電勢(shì)。

電荷守恒與規(guī)范不變性密切相關(guān)。這可以用一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)來(lái)論述。假設(shè)某種過(guò)程可以破壞電荷守恒（假若無(wú)法永久地破壞，至少可以暫時(shí)地破壞）。這過(guò)程會(huì)在空間里電勢(shì)為V1{\displaystyle V_{1}}的某位置r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}生成電荷q{\displaystyle q}，然后將這電荷遷移至在空間里電勢(shì)為V2{\displaystyle V_{2}}的位置r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}，最后將這電荷湮滅。注意到這過(guò)程并沒(méi)有破壞全域電荷守恒定律，只破壞了局域電荷守恒定律。

現(xiàn)在規(guī)定，在任意位置，生成電荷需要輸入能量W{\displaystyle W}，湮滅電荷會(huì)釋出能量W{\displaystyle W}。由于生成電荷或湮滅電荷的位置是任意位置，W{\displaystyle W}不會(huì)與相對(duì)電勢(shì)有關(guān)。W{\displaystyle W}也不會(huì)與絕對(duì)電勢(shì)有關(guān)。那么，整個(gè)過(guò)程會(huì)使得系統(tǒng)獲得能量W+qV1? ? -->qV2? ? -->W{\displaystyle W+qV_{1}-qV_{2}-W}。但是，這樣做會(huì)違反能量守恒。為了遵守能量守恒，必需要求局域電荷守恒。所以，由于規(guī)范不變性，電荷守恒定律成立。

電磁學(xué)

在電磁學(xué)里，對(duì)電勢(shì)與磁矢勢(shì)做規(guī)范變換，

其中，規(guī)范函數(shù)Λ Λ -->(r,t){\displaystyle \Lambda (\mathbf {r} ,t)}標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。

新的電場(chǎng)E′{\displaystyle \mathbf {E} "}、磁場(chǎng)B′{\displaystyle \mathbf {B} "}分別為

分別與舊的電場(chǎng)E{\displaystyle \mathbf {E} }、磁場(chǎng)B{\displaystyle \mathbf {B} }相同。這性質(zhì)稱為規(guī)范不變性。由于這性質(zhì)，在規(guī)范變換下，麥克斯韋方程組的形式不變。

諾特定理

根據(jù)諾特定理，電荷守恒可以理解為由于對(duì)稱性而導(dǎo)致的后果。諾特定理表明，每一種守恒定律，必定有其伴隨的物理對(duì)稱性。伴隨著電荷守恒的對(duì)稱性是電磁場(chǎng)的規(guī)范不變性。

采用高斯單位制，張量標(biāo)記，愛(ài)因斯坦求和約定，思考電磁場(chǎng)的拉格朗日密度L{\displaystyle {\mathcal {L}}}，

其中，F(xiàn)α α -->β β -->{\displaystyle F_{\alpha \beta }}是電磁張量，c{\displaystyle c}是光速，Jα α -->{\displaystyle J_{\alpha }}是四維電流密度，Aα α -->{\displaystyle A^{\alpha }}是電磁四維勢(shì)。

現(xiàn)在，做一個(gè)微小變換

其中，Λ Λ -->(xα α -->){\displaystyle \Lambda (x^{\alpha })}是規(guī)范函數(shù)。

新的拉格朗日密度L′{\displaystyle {\mathcal {L}}"}為

在這種規(guī)范變換下，拉格朗日密度不是不變量，但是作用量I=∫ ∫ -->VL d4x{\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{\mathbb {V} }{\mathcal {L}}\ \mathrm aeve7yq ^{4}x}是不變量：

其中，V{\displaystyle \mathbb {V} }是四維積分體積。

應(yīng)用散度定理，四維體積積分∫ ∫ -->V? ? -->α α -->(Jα α -->Λ Λ -->)d4x{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm lx4sdmb ^{4}x}可以變?yōu)橐粋€(gè)三維曲面積分。將V{\displaystyle \mathbb {V} }增大，使得表面不存在任何四維電流Jα α -->{\displaystyle J_{\alpha }}，則這項(xiàng)目等于零。那么，

注意到Λ Λ -->{\displaystyle \Lambda }是任意函數(shù)，所以，假若作用量I{\displaystyle {\mathcal {I}}}是規(guī)范不變量，則必定導(dǎo)致

規(guī)范場(chǎng)論

采用高斯單位制，思考自旋1/2粒子的旋量場(chǎng)，其狄拉克拉格朗日密度為

其中，? ? -->{\displaystyle \hbar }是約化普朗克常數(shù)，c{\displaystyle c}是光速，γ γ -->μ μ -->{\displaystyle \gamma ^{\mu }}是狄拉克矩陣（Dirac matrix），ψ ψ -->{\displaystyle \psi }是四維旋量，ψ ψ -->ˉ ˉ -->{\displaystyle {\overline {\psi }}}是ψ ψ -->{\displaystyle \psi }的狄拉克伴隨（Dirac adjoint），m{\displaystyle m}是粒子質(zhì)量。

對(duì)于全域規(guī)范變換，

其中，θ θ -->{\displaystyle \theta }是常數(shù)相移。

在全局規(guī)范變換下，拉格朗日密度L{\displaystyle {\mathcal {L}}}是不變量：

可是，對(duì)于局域規(guī)范變換，θ θ -->=θ θ -->(xμ μ -->){\displaystyle \theta =\theta (x^{\mu })}不是常數(shù)。在局域規(guī)范變換下，由于? ? -->μ μ -->(ψ ψ -->eiθ θ -->)=(? ? -->μ μ -->ψ ψ -->)eiθ θ -->+i(? ? -->μ μ -->θ θ -->)ψ ψ -->eiθ θ -->{\displaystyle \partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })=(\partial _{\mu }\psi )e^{i\theta }+i(\partial _{\mu }\theta )\psi e^{i\theta }}，拉格朗日密度L{\displaystyle {\mathcal {L}}}不是不變量：

因此，必需添加額外項(xiàng)目，才能使L{\displaystyle {\mathcal {L}}}成為不變量。猜想新拉格朗日密度的形式為

其中，Aμ μ -->{\displaystyle A_{\mu }}是新添加的四維矢量場(chǎng)。

假設(shè)，對(duì)于局域規(guī)范變換，Aμ μ -->′=Aμ μ -->+? ? -->μ μ -->Λ Λ -->{\displaystyle A"_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Lambda }。那么，在局域規(guī)范變換下，

設(shè)定Λ Λ -->=? ? -->? ? -->cθ θ -->/q{\displaystyle \Lambda =-\hbar c\theta /q}，則拉格朗日密度L1{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}成為規(guī)范不變量。但是四維矢量場(chǎng)Aμ μ -->{\displaystyle A_{\mu }}的物理意義仍舊不清楚。

思考自旋為1、質(zhì)量為m{\displaystyle m}的粒子的四維矢量場(chǎng)，其普羅卡拉格朗日密度（Proca Lagrangian）為

在局域規(guī)范變換下，這方程右手邊第一個(gè)項(xiàng)目是不變量，但第二個(gè)項(xiàng)目不是不變量。假設(shè)粒子不具質(zhì)量m=0{\displaystyle m=0}，則可除去第二個(gè)項(xiàng)目。將這粒子不具質(zhì)量的普羅卡拉格朗日密度與拉格朗日密度L1{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}綜合在一起，所得到的拉格朗日密度L2{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}是規(guī)范不變量：

假設(shè)Aμ μ -->{\displaystyle A_{\mu }}是電磁四維勢(shì)、四維電流密度Jμ μ -->{\displaystyle J_{\mu }}是Jμ μ -->=cqψ ψ -->ˉ ˉ -->γ γ -->μ μ -->ψ ψ -->{\displaystyle J_{\mu }=cq{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }、電磁張量Fα α -->β β -->{\displaystyle F_{\alpha \beta }}是Fα α -->β β -->=? ? -->α α -->Aβ β -->? ? -->? ? -->β β -->Aα α -->{\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}，那么，L2{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}表示為

這方程右手邊前面兩個(gè)項(xiàng)目是描述電子或正子的狄拉克場(chǎng)的拉格朗日密度，后面兩個(gè)項(xiàng)目則是以光子為媒介的電磁場(chǎng)的拉格朗日密度。對(duì)于Aμ μ -->{\displaystyle A_{\mu }}的拉格朗日方程為麥克斯韋方程組：

規(guī)范不變性有很多可被檢驗(yàn)的后果。例如，局域規(guī)范不變性要求光子不具有質(zhì)量。因此，假若做實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚓_地證實(shí)光子不具有質(zhì)量，這也會(huì)成為電荷守恒的強(qiáng)證據(jù)。

可是，甚至當(dāng)物理系統(tǒng)具有完全的規(guī)范不變性時(shí)，假若電荷從正常的三維空間漏入隱藏的額外維度，則仍舊會(huì)有可能發(fā)生電荷不守恒現(xiàn)象。

實(shí)驗(yàn)證據(jù)

假若電荷不永遠(yuǎn)守恒，則可能會(huì)發(fā)生粒子衰變。檢驗(yàn)電荷守恒最好的實(shí)驗(yàn)方法就是尋找這些粒子衰變。至今為止，物理學(xué)者尚未能找到任何這類衰變。例如，對(duì)于電子衰變?yōu)橹形⒆优c光子的反應(yīng)，物理學(xué)者試著偵測(cè)這反應(yīng)產(chǎn)生的高能光子：

但是，有理論提出，即使電荷不永遠(yuǎn)守恒，這種生成高能光子的衰變反應(yīng)也永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生。當(dāng)然，也有實(shí)驗(yàn)試著偵測(cè)不產(chǎn)生高能光子的衰變，或者一些比較不尋常的電荷破壞過(guò)程，例如，電子可能會(huì)自發(fā)變成正電子、電子移入其它維度。最優(yōu)良的實(shí)驗(yàn)值限為

參閱

電容器－儲(chǔ)存電荷的元件。

基爾霍夫電路定律－應(yīng)用電荷守恒于電路。

守恒定律與對(duì)稱性（Conservation Laws and Symmetry）

規(guī)范理論入門（Introduction to Gauge Theory）－關(guān)于規(guī)范不變性與電荷守恒的進(jìn)階論述。

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