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　　《幾何原本》(希臘語：Στοιχε?α)又稱《原本》。是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作。它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法后來成了建立任何知識體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例。這本著作是歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍。

　　原本介紹

　　《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造性于一體的不朽之作。并把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學(xué)論證方法，形成了一個嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué)。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。

　　這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)——歐幾里得生活時期——前后總共400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學(xué)理論，而且通過歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠古的數(shù)學(xué)思想發(fā)揚光大。

　　它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。

　　歐幾里得所著的《原本》大約成書于公元前300年，原書早已失傳。全書共分13卷。書中包含了5個“公設(shè)(Axioms)”、5條“一般性概念(Common Notions)”、23個定義(Definitions)和48個命題(Propositions)。在每一卷內(nèi)容當(dāng)中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設(shè)和定義，然后再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。

　　而在整部書的內(nèi)容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內(nèi)容。其中有關(guān)窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。

　　照歐氏幾何學(xué)的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結(jié)論。對后世產(chǎn)生了深遠的影響。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。

　　兩千多年來，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。

　　1582年，來自意大利的天主教神父利瑪竇到中國傳教，帶來了15卷本的《原本》。1600年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟(1562-1633)與利瑪竇相識后，便經(jīng)常來往。1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，并改名為《幾何原本》。后9卷是1857年由中國清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811-1882)和英國人偉烈亞力譯完的。

　　原本定義

　　注：《幾何原本》中有“公設(shè)”與“公理”之分，近代數(shù)學(xué)對此不再區(qū)分，都稱“公理”。

　　定義

　　23條

　　點是沒有部分的

　　線只有長度而沒有寬度

　　一線的兩端是點

　　直線是它上面的點一樣地平放著的線

　　面只有長度和寬度

　　面的邊緣是線

　　平面是它上面的線一樣地平放著的面

　　平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度

　　當(dāng)包含角的兩條線都是直線時，這個角叫做直線角

　　當(dāng)一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角的每一個叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。

　　大于直角的角叫鈍角

　　小于直角的角叫銳角

　　邊界是物體的邊緣

　　圖形是一個邊界或者幾個邊界所圍成的

　　圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等

　　這個點(指定義15中提到的那個點)叫做圓心。

　　圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個方向被圓截得的線段，且把圓二等分

　　半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同(接17)

　　直線形是由線段圍成的，三邊形是由三條線段圍成的，四邊形是由四條線圍成的，多邊形是由四條以上線段圍成的

　　在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;只有兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形

　　此外，在三邊形中，有一角是直角的，叫做直角三角形;有一個角是鈍角的，叫做鈍角三角形;有三個角是銳角的，叫做銳角三角形

　　在四邊形中,四邊相等且四個角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四邊不全相等的,叫做長方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對角相等且對邊相等,但邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形

　　平行直線是在同一個平面內(nèi)向兩端無限延長不能相交的直線

　　公理

　　1.等于同量的量彼此相等;

　　2.等量加等量，其和相等;

　　3.等量減等量，其差相等;

　　4.彼此能完全重合的物體是全等的;

　　5.整體大于部分。

　　公設(shè)

　　1.過兩點能作且只能作一直線;

　　2.線段(有限直線)可以無限地延長;

　　3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓;

　　4.凡是直角都相等;

　　5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交。(近代數(shù)學(xué)不區(qū)分公設(shè)，公理，統(tǒng)一稱為公理)

　　——以上選自《幾何原本》 第一卷《幾何基礎(chǔ)》

　　最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。值得注意的是，第五公設(shè)既不能說是正確也不能說是錯誤，它所概括的是一種情況。非歐幾何則在推翻第五公設(shè)的前提下進行了另外情況的討論。