各種正交概念正交子空間若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積為0，則它們正交。類(lèi)似地，若內(nèi)積空間中的向量v與子空間A中的每個(gè)向量都正交，那么這個(gè)向量和子空間A正交。若內(nèi)積空間的子空間A和B滿足一者中的每個(gè)向量都與另一者正交，那么它們互為正交子空間。正交變換正交變換T:V→→-->V{\displaystyleT:V\rightarrowV}是保持內(nèi)積的線性變換。即是說(shuō)，對(duì)兩個(gè)向量，它們的內(nèi)積等于它們?cè)诤瘮?shù)T下的內(nèi)積：這也就是說(shuō)，正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變，也保持兩個(gè)向量之間的角度不變。歐幾里得空間的例子在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個(gè)向量正交當(dāng)且僅當(dāng)他們的點(diǎn)積為零，即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎(chǔ)上推廣而來(lái)的。三維空間中，一條直線的正交子空間是一個(gè)平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個(gè)超平面。正交函數(shù)集對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f和g，可以定義如下的內(nèi)積：這里引進(jìn)一個(gè)非負(fù)的權(quán)函數(shù)w...

晶系的特征與細(xì)分關(guān)系表晶系、晶族的特征一般用：點(diǎn)群、空間群、晶格（布拉菲晶格）來(lái)標(biāo)示。參考資料CornelisKlein,BarbaraDutrow,2007.ManualofMineralScience,23rdEdition

實(shí)數(shù)域上的正交群實(shí)數(shù)域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不會(huì)引起誤會(huì)時(shí)經(jīng)常記為O(n)和SO(n)。他們是n(n-1)/2維實(shí)緊李群。O(n,R)有兩個(gè)連通分支，SO(n,R)是單位分支，即包含單位矩陣的連通分支。實(shí)正交群和特殊正交群有如下的解釋?zhuān)篛(n,R)是歐幾里得群E(n)的子群，E(n)是R的等距群；O(n,R)由其中保持原點(diǎn)不動(dòng)等距組成。它是以原點(diǎn)為中心的球面(n=3)、超球面和所有球面對(duì)稱(chēng)的對(duì)象的對(duì)稱(chēng)群。SO(n,R)是E(n)的子群，E(n)是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R)由其中保持原點(diǎn)不動(dòng)的等距組成。它是以原點(diǎn)為中心的球面和所有球面對(duì)稱(chēng)對(duì)象的旋轉(zhuǎn)群。{I,?I}是O(n,R)的正規(guī)子群并是特征子群；如果n是偶數(shù)，對(duì)SO(n,R)也對(duì)。如果n是奇數(shù)，O(n,R)是SO(n,R)和{I,?I}的直積。k重旋轉(zhuǎn)循環(huán)群Ck對(duì)任何正整數(shù)k都是O(2,...

分類(lèi)參見(jiàn)晶體結(jié)構(gòu)

概述正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是正規(guī)矩陣。盡管我們?cè)谶@里只考慮實(shí)數(shù)矩陣，這個(gè)定義可用于其元素來(lái)自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，對(duì)于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了歸一要求。要看出與內(nèi)積的聯(lián)系，考慮在n維實(shí)數(shù)內(nèi)積空間中的關(guān)于正交基寫(xiě)出的向量v。v的長(zhǎng)度的平方是vv。如果矩陣形式為Qv的線性變換保持了向量長(zhǎng)度，則所以有限維線性等距同構(gòu)，比如旋轉(zhuǎn)、反射和它們的組合，都產(chǎn)生正交矩陣。反過(guò)來(lái)也成立：正交矩陣蘊(yùn)涵了正交變換。但是，線性代數(shù)包括了在既不是有限維的也不是同樣維度的空間之間的正交變換，它們沒(méi)有等價(jià)的正交矩陣。有多種原由使正交矩陣對(duì)理論和實(shí)踐是重要的。n×n正交矩陣形成了一個(gè)群，即指示為O（n）的正交群，它和它的子群廣泛的用在數(shù)學(xué)和物理科學(xué)中。例如，分子的點(diǎn)群是O（3）的子群。因?yàn)楦↑c(diǎn)版本的正交矩陣有有利的性質(zhì)，它們是字?jǐn)?shù)值線性代數(shù)中很多算法比如QR分解的關(guān)鍵，通過(guò)適當(dāng)?shù)囊?guī)范化，離...