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定義

設(shè)m是豪斯多夫空間X的博雷爾集的σ-代數(shù)上的測(cè)度。m稱為

內(nèi)部正則，若對(duì)任何博雷爾集B，其測(cè)度m(B)等于B的所有緊致子集K的測(cè)度m(K)的最小上界；

外部正則，若對(duì)任何博雷爾集B，其測(cè)度m(B)等于所有包含B的開集U的測(cè)度m(U)的最大下界；

局部有限，若X中任一點(diǎn)都有鄰域U，使得m(U)為有限。

拉東測(cè)度，若m是內(nèi)部正則及局部有限。

例子

歐氏空間R上的勒貝格測(cè)度（限制到博雷爾集的σ-代數(shù)上）；

局部緊拓?fù)淙荷系墓枩y(cè)度；

任何波蘭空間的博雷爾集的σ-代數(shù)上的概率測(cè)度。這例子包括了很多在非局部緊空間上的測(cè)度，比如在區(qū)間[0,1]上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)空間上的維納測(cè)度。

以下不是拉東測(cè)度：

歐氏空間上的計(jì)數(shù)測(cè)度，因?yàn)檫@測(cè)度不是局部有限。

性質(zhì)

對(duì)偶性

在一個(gè)局部緊豪斯多夫空間上，拉東測(cè)度對(duì)應(yīng)到在緊支集連續(xù)函數(shù)空間上的正線性泛函。這個(gè)性質(zhì)是提出拉東測(cè)度的定義的主要原因。

度量空間結(jié)構(gòu)

在 X {\displaystyle X} 上的所有（正）拉東測(cè)度組成的帶點(diǎn)錐 M + ( X ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{+}(X)} ，可以用下述度量使成為完備度量空間。定義兩個(gè)測(cè)度 m 1 , m 2 ∈ ∈ --> M + ( X ) {\displaystyle m_{1},m_{2}\in {\mathcal {M}}_{+}(X)} 間的拉東距離為

其中最小上界是對(duì)所有連續(xù)函數(shù)f: X → [-1, 1]取的。

這個(gè)度量有一些限制。例如 X {\displaystyle X} 上的概率測(cè)度

關(guān)于拉東度量不是序列緊致，即是概率測(cè)度序列未必有收斂子序列。這個(gè)性質(zhì)在一些應(yīng)用中會(huì)造成困難。另一方面，若 X {\displaystyle X} 是緊致度量空間，那么 Wasserstein度量使 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 成為緊致度量空間。

在拉東度量收斂意味著測(cè)度的弱收斂：

但反之則不必然。在拉東度量收斂有時(shí)稱為強(qiáng)收斂，以便和弱收斂對(duì)比。 

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