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生平埃米爾·博雷爾于1871年1月7日生于法國圣阿夫里屈埃。他和勒內(nèi)-路易·貝爾、昂利·勒貝格都是測度論及其在概率論應(yīng)用的先鋒，拓?fù)鋵W(xué)中的博雷爾集概念就是以他來命名。他1909年出版的一本書，介紹了“打字的猴子”的概念，引發(fā)了無限猴子定理這個有趣的實(shí)驗(yàn)構(gòu)想。他在1921年至1927年間亦發(fā)表過不少博弈論論文，對博弈論作出重大貢獻(xiàn)。1913年和1914年，他借由解說論文建立了雙曲幾何和狹義相對論的連結(jié)。1920年代至1940年代之間，博雷爾活躍于法國政壇，積極參與政治活動。1922年，埃米爾·博雷爾成立巴黎統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)（InstitutdeStatistiquesdel"UniversitédeParis），這也是法國歷史最悠久的統(tǒng)計(jì)學(xué)校。他從1924年至1936年間任法國國民議會議員。他于1925年擔(dān)任海洋部長，成為同為數(shù)學(xué)家的法國總理保羅·潘勒韋內(nèi)閣的成員。波萊爾于1921年當(dāng)選法國科學(xué)院院...

歷史和動機(jī)今天叫做海涅-博雷爾定理的歷史開始于十九世紀(jì)對實(shí)分析的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)的尋覓。理論的中心是一致連續(xù)的概念和聲稱所有閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的定理。狄利克雷首先證明了它，并隱含的在他的證明中利用了閉區(qū)間的給定開覆蓋的有限子覆蓋的存在性。他在1862年的演講中使用了這個證明，并在1904年得以出版。后來EduardHeine、卡爾·魏爾斯特拉斯和SalvatorePincherle使用了類似的技術(shù)。埃米爾·博雷爾在1895年首次發(fā)表并證明了一種形式的現(xiàn)在的海涅-博雷爾定理。他的公式化受限制于可數(shù)覆蓋。昂利·勒貝格(1898年)和Schoenflies(1900年)把它推廣到了任意覆蓋。定理的討論如果一個集合是緊致的，則它必定是閉合的。設(shè)集合S是R的子集。首先證明一個引理：若a是S的一個極限點(diǎn)，則任意有限個開集U，其中U與a的某鄰域VU不相交，所組成的開集族C不能構(gòu)成S的一個開覆蓋。實(shí)際上...

定義正式的定義為，一個測度μμ-->{\displaystyle\mu\}（詳細(xì)的說法是可列可加的正測度）是個函數(shù)。設(shè)A{\displaystyle{\mathcal{A}}}的元素是X{\displaystyleX\}的子集合，而且是一個σσ-->{\displaystyle\sigma}-代數(shù)，μμ-->{\displaystyle\mu\}在A{\displaystyle{\mathcal{A}}}上定義，于[0,∞∞-->]{\displaystyle[0,\infty]}中取值，并且滿足以下性質(zhì)：空集合的測度為零：可數(shù)可加性，或稱σσ-->{\displaystyle\sigma}-可加性：若E1,E2,??-->{\displaystyleE_{1},E_{2},\cdots}為A{\displaystyle{\mathcal{A}}}中可數(shù)...

預(yù)備知識對于一個局域緊致豪斯多夫拓?fù)淙海℅,?），其所有的緊子集生成的σ-代數(shù)被稱為波萊爾代數(shù)（Borelalgebra），波萊爾代數(shù)的元素即為波萊爾集。對于群G的元素g和子集S，可以定義S的左變換和右變換：左變換:右變換:左/右變換使波萊爾集映射為波萊爾集。對于一個作用于G的波萊爾子集上的測量μ，如果對所有的波萊爾子集S和所有的g有則稱這個測量μ是左變換不變的。相應(yīng)可以定義右變換不變性。哈爾定理在差一個正因子常數(shù)的情形下，如果G的波萊爾子集上的一個唯一可加的非平凡測度μ滿足如下性質(zhì)：對任意的g和波萊爾子集E，μ是左變換不變的:對所有的緊致集K，μ是有限的:在波萊爾集E上μ是外部正則(outerregular)的:在波萊爾開集E上μ是內(nèi)部正則(innerregular)的:那么這個G上的測度μ便被稱為左哈爾測度。特別的，如果G是緊致的那么μ(G)是有限且正的，因此總可以通過設(shè)定一歸一條件μ...

歷史莫臥兒皇帝奧朗則布在1707年逝世后，政局不穩(wěn)，一個名為穆罕默德的阿富汗士兵從德里逃走到博帕爾的地區(qū)避難，并遇見當(dāng)?shù)貙伦宓腒amlapati女王。這位女王的哥哥死后，求穆罕默德幫忙治理酋邦，他隨后把9個小酋邦聯(lián)合在一起了，并于1723年建立了博帕爾邦。博帕爾事件1984年12月2日，在博帕爾發(fā)生了歷史上規(guī)模最大的毒氣泄露案，導(dǎo)致數(shù)以萬計(jì)的平民百姓死亡，20萬人受害。當(dāng)?shù)鼐用裰两裆形吹玫胶侠淼馁r償。氣候