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定義

正式的定義為，一個(gè)測(cè)度μ μ --> {\displaystyle \mu \ }（詳細(xì)的說(shuō)法是可列可加的正測(cè)度）是個(gè)函數(shù)。設(shè)A{\displaystyle {\mathcal {A}}} 的元素是 X {\displaystyle X\ }的子集合，而且是一個(gè)σ σ --> {\displaystyle \sigma } -代數(shù)，μ μ --> {\displaystyle \mu \ }在A{\displaystyle {\mathcal {A}}}上定義，于[0,∞ ∞ -->]{\displaystyle [0,\infty ]}中取值，并且滿足以下性質(zhì)：

空集合的測(cè)度為零：

可數(shù)可加性，或稱σ σ -->{\displaystyle \sigma }-可加性：若E1,E2,? ? -->{\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }為A{\displaystyle {\mathcal {A}}}中可數(shù)個(gè)兩兩不相交集合的序列，則所有Ei {\displaystyle E_{i}\ }的聯(lián)集的測(cè)度，等于每個(gè)Ei {\displaystyle E_{i}\ }的測(cè)度之和：

這樣的三元組(X,A,μ μ -->){\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}稱為一個(gè)測(cè)度空間，而A{\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的元素稱為這個(gè)空間中的可測(cè)集合。

性質(zhì)

下面的一些性質(zhì)可從測(cè)度的定義導(dǎo)出：

單調(diào)性

測(cè)度μ μ --> {\displaystyle \mu \ }的單調(diào)性： 若E1 {\displaystyle E_{1}\ }和E2 {\displaystyle E_{2}\ }為可測(cè)集，而且E1? ? -->E2{\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}，則μ μ -->(E1)≤ ≤ -->μ μ -->(E2){\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}。

可數(shù)個(gè)可測(cè)集的并集的測(cè)度

若E1,E2,E3? ? -->{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }為可測(cè)集（不必是兩兩不交的），則集合En {\displaystyle E_{n}\ }的并集是可測(cè)的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

如果還滿足并且對(duì)于所有的n {\displaystyle n\ }，En {\displaystyle E_{n}\ }?En+1 {\displaystyle E_{n+1}\ }，則如下極限式成立：

可數(shù)個(gè)可測(cè)集的交集的測(cè)度

若E1,E2,? ? -->{\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }為可測(cè)集，并且對(duì)于所有的n {\displaystyle n\ }，En+1 {\displaystyle E_{n+1}\ }?En {\displaystyle E_{n}\ }，則En {\displaystyle E_{n}\ }的交集是可測(cè)的。進(jìn)一步說(shuō)，如果至少一個(gè)En {\displaystyle E_{n}\ }的測(cè)度有限，則有極限：

如若不假設(shè)至少一個(gè)En {\displaystyle E_{n}\ }的測(cè)度有限，則上述性質(zhì)一般不成立。例如對(duì)于每一個(gè)n∈ ∈ -->N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }，令

這里，全部集合都具有無(wú)限測(cè)度，但它們的交集是空集。

σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限測(cè)度

如果μ μ -->(Ω Ω -->) {\displaystyle \mu (\Omega )\ }是一個(gè)有限實(shí)數(shù)（而不是∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }），則測(cè)度空間(X,A,μ μ -->){\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}稱為有限測(cè)度空間。如果Ω Ω --> {\displaystyle \Omega \ }可以表示為可數(shù)個(gè)可測(cè)集的并集，而且這些可測(cè)集的測(cè)度均有限，則該測(cè)度空間稱為σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限測(cè)度空間。如果測(cè)度空間中的一個(gè)集合A {\displaystyle A\ }可以表示為可數(shù)個(gè)可測(cè)集的并集，而且這些可測(cè)集的測(cè)度均有限，就稱A {\displaystyle A\ }具有σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限測(cè)度。

作為例子，實(shí)數(shù)集賦以標(biāo)準(zhǔn)勒貝格測(cè)度是σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限的，但不是有限的。為說(shuō)明之，只要考慮閉區(qū)間族[k, k+1]，k取遍整數(shù)的整數(shù)；這樣的區(qū)間共有可數(shù)多個(gè)，每一個(gè)的測(cè)度為1，而且并起來(lái)就是整個(gè)實(shí)數(shù)集。作為另一個(gè)例子，取實(shí)數(shù)集上的計(jì)數(shù)測(cè)度，即對(duì)實(shí)數(shù)集的每個(gè)有限子集，都把元素個(gè)數(shù)作為它的測(cè)度，至于無(wú)限子集的測(cè)度則令為∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }。這樣的測(cè)度空間就不是σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限的，因?yàn)槿魏斡邢逌y(cè)度集只含有有限個(gè)點(diǎn)，從而，覆蓋整個(gè)實(shí)數(shù)軸需要不可數(shù)個(gè)有限測(cè)度集。σ σ -->{\displaystyle \sigma }-有限的測(cè)度空間有些很好的性質(zhì)；從這點(diǎn)上說(shuō)，σ σ -->{\displaystyle \s拓?fù)淇臻g }-有限性可以類比于拓?fù)淇臻g的可分性。

完備性

一個(gè)可測(cè)集N {\displaystyle N\ }稱為零測(cè)集，如果μ μ -->(N)=0 {\displaystyle \mu (N)=0\ }。零測(cè)集的子集稱為可去集，它未必是可測(cè)的，但零測(cè)集自然是可去集。如果所有的可去集都可測(cè)，則稱該測(cè)度為完備測(cè)度。

一個(gè)測(cè)度可以按如下的方式延拓為完備測(cè)度：考慮X {\displaystyle X\ }的所有這樣的子集F {\displaystyle F\ }，它與某個(gè)可測(cè)集E {\displaystyle E\ }僅差一個(gè)可去集，也就是說(shuō)E {\displaystyle E\ }與F {\displaystyle F\ }的對(duì)稱差包含于一個(gè)零測(cè)集中。由這些子集F {\displaystyle F\ }生成的σ代數(shù)，并定義μ μ -->(F) {\displaystyle \mu (F)\ }的值就等于μ μ -->(E) {\displaystyle \mu (E)\ }。

例子

下列是一些測(cè)度的例子（順序與重要性無(wú)關(guān)）。

計(jì)數(shù)測(cè)度　定義為μ μ -->(S)=S {\displaystyle \mu (S)=S\ }的“元素個(gè)數(shù)”。

一維勒貝格測(cè)度是定義在R{\displaystyle \mathbb {R} }的一個(gè)含所有區(qū)間的σ代數(shù)上的、完備的、平移不變的、滿足μ μ -->([0,1])=1 {\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }的唯一測(cè)度。

Circular angle測(cè)度是旋轉(zhuǎn)不變的。

局部緊拓?fù)淙荷系墓枩y(cè)度是勒貝格測(cè)度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。

恒零測(cè)度定義為μ μ -->(S)=0 {\displaystyle \mu (S)=0\ }，對(duì)任意的S {\displaystyle S\ }。

每一個(gè)概率空間都有一個(gè)測(cè)度，它對(duì)全空間取值為1（于是其值全部落到單位區(qū)間[0,1]中）。這就是所謂概率測(cè)度。見(jiàn)概率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測(cè)度、波萊爾測(cè)度、若爾當(dāng)測(cè)度、遍歷測(cè)度、歐拉測(cè)度、高斯測(cè)度、貝爾測(cè)度、拉東測(cè)度。

相關(guān)條目

外測(cè)度（Outer measure）

幾乎處處（Almost everywhere）

勒貝格測(cè)度（Lebesgue measure）

參考文獻(xiàn)

R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.

D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.

Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.

M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.

Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部鏈接

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