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扎里斯基拓?fù)?/span>

對(duì)于交換環(huán) A{\displaystyle A} 里的任一理想 a{\displaystyle {\mathfrak {a}}}，置 V(a):={p∈ ∈ -->Spec(A):p? ? -->a}{\displaystyle V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}}。容易證明下述性質(zhì)：

V(ab)=V(a)∪ ∪ -->V(b){\displaystyle V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak })}

V(∑ ∑ -->iai)=? ? -->iV(ai){\displaystyle V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})}

V(a)? ? -->V(b){\displaystyle V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak })}當(dāng)且僅當(dāng)a? ? -->b{\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak }}}

因此我們可以在Spec(A){\displaystyle Spec(A)}上定義一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使得其閉子集恰為形如V(a){\displaystyle V({\mathfrak {a}})}的子集，稱之扎里斯基拓?fù)洹?/span>

一般而言，扎里斯基拓?fù)洳⒉粷M足豪斯多夫性質(zhì)。

結(jié)構(gòu)層

考慮扎里斯基拓?fù)湎碌南率鲱A(yù)層：

O0,A:U? ? -->lim← ← -->p∈ ∈ -->U? ? -->Ap{\displaystyle {\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}}

令OA{\displaystyle {\mathcal {O}}_{A}}為其層化，稱作Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的結(jié)構(gòu)層。顯然有OA,p=Ap{\displaystyle {\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}}，故(Spec(A),O){\displaystyle (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})}構(gòu)成一個(gè)局部賦環(huán)空間。

一個(gè)元素a∈ ∈ -->A{\displaystyle a\in A}給出OA{\displaystyle {\mathcal {O}}_{A截面的截面，事實(shí)上可以證明Γ Γ -->(Spec(A),OA)=A{\displaystyle \Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A}。

交換環(huán)譜間的態(tài)射

設(shè)A,B{\displaystyle A,B}為交換環(huán)，? ? -->:A→ → -->B{\displaystyle \phi :A\rightarro同態(tài)B}為一同態(tài)，則可定義一個(gè)映射f(p)=? ? -->? ? -->1(p){\displaystyle f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}，這是從Spec(B){\displaystyle \mathrm {Spec} (B)}到Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的連續(xù)映射，在結(jié)構(gòu)層上則以a? ? -->? ? -->(b){\displaystyle a\mapsto \phi (b)}定義f? ? -->:OA→ → -->f? ? -->OB{\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}}，那么(f,f? ? -->){\displaystyle (f,f^{\sharp })}給出局部賦環(huán)空間的態(tài)射。

反之，任何仿射概形間的態(tài)射皆由此唯一地給出。上述對(duì)應(yīng)遂建立起交換環(huán)的反范疇與仿射概形范疇的等價(jià)性。

古典觀點(diǎn)

令k{\displaystyle k}為代數(shù)封閉域，給定fi∈ ∈ -->k[X1,… … -->,Xn]{\displaystyle f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}（i=1,2,...），則方程組fi(x1,… … -->,xn)=0{\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}定義一個(gè)代數(shù)簇X? ? -->Akn{\displaystyle X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}。

設(shè)a:=(f1,… … -->,fn)? ? -->k[X1,… … -->,Xn]{\displaystyle {\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}，A:=k[X1,… … -->,Xn]/a{\displaystyle A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}} }。根據(jù)希爾伯特零點(diǎn)定理，X{\displaystyle X}的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)到A{\displaystyle A}的極大理想。

一般而言，Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}內(nèi)的元素一一對(duì)應(yīng)到X{\displaystyle X}內(nèi)的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一，在于可以借此在概形上運(yùn)用安德烈·韋伊的一般點(diǎn)（generic point）理論；此外，環(huán)同態(tài)不一定將極大理想拉回到極大理想，除非該環(huán)是 Jacobson 環(huán)。

Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)僅涉及a{\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}。A{\displaystyle A}里的冪零元素看似無幾何意義，但它們?cè)谘芯繜o窮及態(tài)射的纖維上功效至大。

參見

《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》

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