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定義

環(huán)(R,+,·)，已知(R, +)是阿貝爾群。R的子集I稱為R的一個 右理想 ，若I滿足：

(I, +)構(gòu)成(R, +)的子群。

?i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

類似地，I稱為R的 左理想 ，若以下條件成立：

(I, +)構(gòu)成(R, +)的子群。

?i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，則稱I為R的 雙邊理想 ，簡稱R上的 理想 。

示例

整數(shù)環(huán)的理想：整數(shù)環(huán) Z 只有形如 nZ 的理想。

一些結(jié)論

在環(huán)中，（左或右）理想的交和并仍然是（左或右）理想。

對于R的兩個理想A，B，記 A B = { ∑ ∑ --> k = 0 n a k b k | a k ∈ ∈ --> A , b k ∈ ∈ --> B } {\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}} 。按定義不難證明：

如果A是R的左理想，則AB是R的左理想。

如果B是R的右理想，則AB是R的右理想。

如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。

R的子集I是R的理想，若I滿足：

?a,b ∈ I，a - b∈I。

?a ∈ I, r ∈ R，則a·r∈ I。

交換環(huán)的理想：交換環(huán)的理想都是雙邊理想。

除環(huán)的理想：除環(huán)中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

生成理想

如果A是環(huán)R的一個非空子集，令 =RA+AR+RAR+ZA，則是環(huán)R的理想，這個理想稱為R中由A生成的理想，A稱為生成元集。同群的生成子群類似，是R中所有包含A的理想的交，因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況：

當(dāng)R是交換環(huán)時， =RA+ZA

當(dāng)R是有單位元1的環(huán)時， =RAR

當(dāng)R是有單位元的交換環(huán)時， =RA

主理想

設(shè)集合A = {a 1 ,a 2 ,...,a n }，則記 =1,a 2 ,...,a n >，稱 ? A ? {\displaystyle \left\langle A\right\rangle } 是有限生成理想。特別當(dāng) A = { a } {\displaystyle A=\left\{a\right\}} 是單元素集時，稱 ? A ? = ? a ? {\displaystyle \left\langle A\right\rangle =\left\langle a\right\rangle } 為環(huán)R的主理想。注意 { a } {\displaystyle \left\{a\right\}} 作為生成元一般不是唯一的，如 ? a ? = ? ? ? --> a ? {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\langle -a\right\rangle } 。 ? a ? {\displaystyle \left\langle a\right\rangle } 的一般形式是：

如果是交換環(huán)，則 ? a ? = { s a + n a | s ∈ ∈ --> R , n ∈ ∈ --> Z } {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa+na|s\in R,n\in Z\right\}}

如果是有單位元的環(huán)，則 ? a ? = { ∑ ∑ --> k = 1 m x k a y k | x k , y k ∈ ∈ --> R , m ∈ ∈ --> Z , m > 0 } {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{\sum _{k=1}^{m}x_{k}ay_{k}|x_{k},y_{k}\in R,m\in Z,m>0\right\}}

如果是有單位元的交換環(huán)，則 ? a ? = { s a | s ∈ ∈ --> R } {\displaystyle \left\langle a\right\rangle =\left\{sa|s\in R\right\}}

相關(guān)概念和結(jié)論

真理想 ：若I是環(huán)R的理想，且I是R的真子集，I稱為R的 真理想 。

極大理想 ：環(huán)R的一個真理想I被稱為R的極大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。

素理想 ：環(huán)R的真理想I被稱為 素理想 ，若?R上的理想A，B，有AB ? I ? A ? I或B ? I。

素環(huán) ：若環(huán)R的零理想是素理想，則稱R是 素環(huán) （或 質(zhì)環(huán) ）。

準(zhǔn)素理想 ：環(huán)R的真理想I。若?R上的理想P，有P ? I ? P ? I，稱I是R的 準(zhǔn)素理想 。

參見

理想 (序理論)

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