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性質(zhì)

舉例來說，設(shè) y 為方程 y + y + 6 = 0 的根，則擴域Q(y){\displaystyle {\mathbb {Q}}(y)}中的整數(shù)環(huán)為 Z[y]{\displaystyle {\mathbb {Z}}[y]}，即所有 a + by 形式的數(shù)，其中a 和 b 為一般的整數(shù)。環(huán)中一個非主理想的例子是 {2a+yb | (a,b)∈ ∈ -->Z2}{\displaystyle \left\{2a+yb\ |\ (a,b)\in \mathbf {Z} ^{2}\right\}}，但這個理想的立方為主理想。實際上這個環(huán)的理想類群是一個3階的循環(huán)群。與此對應(yīng)的類域是添加方程w ? w ? 1 = 0的根 w 到Q(y){\displaystyle {\mathbb {Q}}(y)}而獲得的擴域：Q(y,w){\displaystyle {\mathbb {Q}}(y,w)}。非主理想 2a + yb 的一個理想數(shù)是 ι ι -->=(? ? -->8? ? -->16y? ? -->18w+12w2+10yw+yw2)/23{\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}。由于滿足 ι ι -->6? ? -->2ι ι -->5+13ι ι -->4? ? -->15ι ι -->3+16ι ι -->2+28ι ι -->+8=0{\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}，它是一個代數(shù)整數(shù)。

類域的整數(shù)環(huán)中的所有乘以 ι 會得到Z[y]{\displaystyle {\mathbb {Z}}[y]}中元素的元素都具有 aα + bβ 的形式，其中

α 和 β 也是代數(shù)整數(shù)，滿足：

和

同時，將 aα + bβ 乘以理想數(shù) ι 后就會得到非主理想 2a + by。

歷史

庫默爾首先在1844年發(fā)表了分圓域中唯一分解定理不成立的性質(zhì)。1847年，文章在約瑟夫·劉維爾的雜志上發(fā)表。在接下來的1846年和1847年里，庫默爾發(fā)表了他的主要定理：理想素數(shù)的唯一分解定理。

庫默爾的理想數(shù)概念在其后的四十年間被克羅內(nèi)克和戴德金獨立地發(fā)展。戴德金在試圖直接推廣理想數(shù)概念時遇到了巨大的困難，最終導(dǎo)致他發(fā)展出了模理論和理想論?？肆_內(nèi)克則深化了型理論（二次型的推廣）和因子理論來解決。戴德金的理論發(fā)展成了后來的環(huán)論和抽象代數(shù)，而克羅內(nèi)克的理論則成為了代數(shù)幾何中的有力工具。

參考來源

Nicolas Bourbaki, Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, NY, 1999.

Harold M. Edwards, Fermat"s Last Theorem. A genetic introduction to number theory. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.

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E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. K?nigsberg, 1844; reprinted in Jour. de Math. 12 (1847) 185-212.

E.E. Kummer, über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.

John Stillwell, introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Great Britain, 1996.

庫默爾

費馬最后定理

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