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標度不變與共形不變

標度變換 是共形變換之子集。 標度變換下不變、但共形變換下變之量子場論例子罕見。 而且在某些條件下，標度不變涵蘊共形不變。 故量子場論研究員常混用 標度不變 與 共形不變 二詞。

二維共形場論

二維共形場論有一無限維之局部共形變換群。例如，考慮黎曼球面上的共形場論：雖其變換群由各Moebius變換組成、同構于PSL(2, C )，但其無窮小共形變換則構成無限維之Witt代數(shù)。注意：大多共形場論量子化后會出現(xiàn) 共形反常 （又稱Weyl反常）。此現(xiàn)象引進一非零之中心荷，因而Witt代數(shù)須擴展成Virasoro代數(shù)。

此對稱結構讓我們更細致分類二維的共形場論。尤其我們可聯(lián)繋一共形場論之原初算子 與其中心荷 c 。各物理態(tài) 組成之希爾伯特空間是Virasoro代數(shù)以 c 為定值之一幺正模 . 若要使整個系統(tǒng)穏定，則其Hamiltonian能譜 應限于零上。最廣為人用者是Virasoro代數(shù)之最高權表示 。

一手征場是一全純場 W ( z )，其在維拉宿代數(shù)作用下之變換為

反手征場之定義亦類同。我們稱 Δ 為手征場 W 之“共形權” 。

Zamolodchikov 證明了：存在一函數(shù) C ，在重整群流作用下單調(diào)下降，且等于一二維共形場論之中心荷。 此定理人稱“Zamolodchikov C-定理”。

參閱

AdS/CFT對偶

算子積展開

頂點代數(shù)

WZW模型

臨界點

共形反常

參考文獻

Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory .arXiv:hep-th/9108028.

P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag,紐約, 1997年. ISBN 0-387-94785-X.

A.B Zamolodchikov, ``Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl.Phys.B241:333-380,1984.

A.B Zamolodchikov, ``Irreversibility" Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730-732,1986[1](Russian version).

弦論通俗演義（十九）

延伸閱讀

Martin Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory , Springer-Verlag,BerlinHeidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1, 2nd edition 2008, ISBN 978-3-540-68625-5.

Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory .arXiv:hep-th/9108028.

P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X.

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