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非相對(duì)論性場(chǎng)

某些最簡(jiǎn)單的物理場(chǎng)是向量力場(chǎng)。歷史上，第一次認(rèn)真考慮了場(chǎng)的是法拉第表述電場(chǎng)的電場(chǎng)線。然后重力場(chǎng)采用了相同的表述方式。

牛頓重力

描述重力的經(jīng)典場(chǎng)論是萬(wàn)有引力，其中重力是兩個(gè)物質(zhì)之間的相互作用。

一個(gè)具有重力質(zhì)量 m {\displaystyle m} 的粒子，在重力場(chǎng)中受到一個(gè)力 F {\displaystyle F} 。我們可以定義重力場(chǎng) g → → --> = F → → --> m {\displaystyle {\vec {g}}={\frac {\vec {F}}{m}}} 。 我們要求探測(cè)質(zhì)量 m {\displaystyle m} 小到它的出現(xiàn)不擾動(dòng)重力場(chǎng)。牛頓引力定律說(shuō)兩個(gè)相隔距離 r {\displaystyle r} 的粒子，受到如下的力的作用

應(yīng)用牛頓第二定律（對(duì)于常數(shù)慣性物質(zhì)） F → → --> = m a → → --> {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} ，而觀察慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)觀察是相等的，并且達(dá)到了空前的精度。這可以導(dǎo)出重力場(chǎng) g {\displaystyle g} 的定義

電場(chǎng)

一個(gè)帶電測(cè)試粒子，電荷 q {\displaystyle q} ，受到一個(gè)力 F {\displaystyle F} ，完全基于它的電荷。我們可以類似地表述電場(chǎng) E {\displaystyle E} ，使得 F → → --> = q E → → --> {\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {E}}} 。利用這個(gè)和庫(kù)侖定律，我們定義單個(gè)電荷粒子產(chǎn)生的電場(chǎng)是

相對(duì)論場(chǎng)論

經(jīng)典場(chǎng)論的現(xiàn)代表述通常要求洛倫茲共變性，因?yàn)檫@現(xiàn)在被認(rèn)為是自然的基本原理。一個(gè)場(chǎng)論傾向于在數(shù)學(xué)上用拉格朗日量來(lái)表達(dá)。這是一個(gè)函數(shù)，用于作用原理，并給出場(chǎng)方程和一個(gè)該理論的守恒定律。

我們的單位全部采用c=1。

拉格朗日動(dòng)力學(xué)

我們有一個(gè)場(chǎng)張量（可以是任意階的張量），為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們將采用一個(gè)標(biāo)量， ? ? --> {\displaystyle \phi } 。我們從這個(gè)量和它的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)標(biāo)量，稱為拉格朗日量密度 L ( ? ? --> , ? ? --> ? ? --> , ? ? --> ? ? --> ? ? --> , . . . , x ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x).}

然后我們通過(guò)在時(shí)空積分從這個(gè)密度構(gòu)造泛函作用：

然后通過(guò)施行最小作用量原理我們得到歐拉－拉格朗日方程

相對(duì)論場(chǎng)

下面給出兩個(gè)最著名的洛倫茲協(xié)變經(jīng)典場(chǎng)論。

電磁場(chǎng)

歷史上，第一個(gè)（經(jīng)典）場(chǎng)論是（分別）表述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的。在大量試驗(yàn)之后，這兩個(gè)場(chǎng)被發(fā)現(xiàn)是相關(guān)的，或者說(shuō)，事實(shí)上，它們是同一個(gè)場(chǎng)的不同方面：這個(gè)場(chǎng)就是電磁場(chǎng)。麥克斯韋的電磁場(chǎng)理論描述了電磁場(chǎng)和帶電物體的相互作用。這個(gè)場(chǎng)論的第一個(gè)表述采用向量場(chǎng)來(lái)描述電和磁場(chǎng)。隨著狹義相對(duì)論的發(fā)展，一個(gè)更好（而且更符合力學(xué)）的表述采用了張量場(chǎng)。這個(gè)表述采用一個(gè)表示兩個(gè)場(chǎng)的張量而不是兩個(gè)向量場(chǎng)分別表述電場(chǎng)和磁場(chǎng)。

我們有電磁四維勢(shì)， A a = ( ? ? --> ? ? --> , A → → --> ) {\displaystyle A_{a}=\left(-\phi ,{\vec {A}}\right)} ，和四維電流密度 j a = ( ? ? --> ρ ρ --> , j → → --> ) {\displaystyle j_{a}=\left(-\rho ,{\vec {j}}\rig對(duì)稱)} 。每一點(diǎn)的電磁場(chǎng)可以用反對(duì)稱(0,2)-階電磁場(chǎng)張量（法拉第2－形式）表述

拉格朗日函數(shù)

要得到場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)，我們要嘗試從這個(gè)場(chǎng)構(gòu)造一個(gè)標(biāo)量。在真空中，我們有 L = ? ? --> 1 4 μ μ --> 0 F a b F a b . {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {-1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}.} 規(guī)范場(chǎng)論利用規(guī)范場(chǎng)論得到相互作用項(xiàng)，而它給出

方程組

上式和歐拉－拉格朗日方程一起，給出所需的結(jié)果，因?yàn)镋-L方程給出

在一些簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算之后，這給出

于是得到一個(gè)向量方程，也就是真空麥克斯韋方程組。另外兩個(gè)可以從F是A的四維旋量這個(gè)事實(shí)得到：

其中逗號(hào)表示偏微分。

重力場(chǎng)

牛頓重力被發(fā)現(xiàn)和狹義相對(duì)論不一致后，愛(ài)因斯坦給出了引力的新理論稱為廣義相對(duì)論。這將引力作為由質(zhì)量引起的幾何現(xiàn)象（"彎曲時(shí)空"）表述，而重力場(chǎng)是用一個(gè)稱為度量張量的張量場(chǎng)來(lái)表示。愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程描述了這個(gè)曲率如何引入。這個(gè)場(chǎng)方程可以用愛(ài)因斯坦-希爾伯特作用量導(dǎo)出。拉格朗日量

其中 R = R a b g a b {\displaystyle R\,=R_{ab}g^{ab}} 是里奇標(biāo)量，用里奇張量 R a b {\displaystyle \,R_{ab}} 給出，而度量張量 g a b {\displaystyle \,g_{ab}} ，將給出真空愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程：

其中 G a b = R a b ? ? --> R 2 g a b {\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {R}{2}}g_{ab}} 是愛(ài)因斯坦張量。

參看

協(xié)變經(jīng)典場(chǎng)論

電磁學(xué)

場(chǎng) (物理)

廣義相對(duì)論

廣義相對(duì)論中的變分法

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