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自由度

力學(xué)系統(tǒng)可以由一組坐標(biāo)來描述。例如，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（在笛卡爾坐標(biāo)系中）由x、y、z三個(gè)坐標(biāo)來描述。一般而言， N {\displaystyle N} 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)由 3 N {\displaystyle 3N} 個(gè)坐標(biāo)來描述。力學(xué)系統(tǒng)中常常存在著各種約束，使得這 3 N {\displaystyle 3N} 個(gè)坐標(biāo)并不都是獨(dú)立的。力學(xué)系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)稱之為 自由度 。對(duì)于 N {\displaystyle N} 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)系統(tǒng)，若存在 m {\displaystyle m} 個(gè)約束，則系統(tǒng)的自由度為

廣義坐標(biāo)

在矢量力學(xué)中，約束的存在體現(xiàn)于作用于系統(tǒng)的約束力。約束力引入額外的未知量，通常使問題變得更為復(fù)雜。但若能選取適當(dāng)?shù)?s {\displaystyle s} 個(gè)完全滿足約束條件的獨(dú)立坐標(biāo)，則約束不再出現(xiàn)在問題中，只需要求解關(guān)于 s {\displaystyle s} 個(gè)未知變量的方程，使問題得以大大簡(jiǎn)化。而如果運(yùn)用牛頓力學(xué)來解約束問題，通常約束越多，需要求解的方程個(gè)數(shù)就越多，反而增加了一定的難度。這樣的 s {\displaystyle s} 個(gè)坐標(biāo)不再局限于各質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，而可以是任何能描述系統(tǒng)的幾何參量，因此稱為“廣義坐標(biāo)”。

拉格朗日量

拉格朗日力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)是：具有 n {\displaystyle n} 個(gè)自由度的系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全由 n {\displaystyle n} 個(gè)廣義坐標(biāo)及廣義速度決定。或者說，力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由一個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù)描述：

這個(gè)函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)或拉格朗日量。

引入勢(shì)能函數(shù) V {\displaystyle V\!} 。這時(shí)拉格朗日函數(shù)表示為：

其中 T {\displaystyle T\!} 和 V {\displaystyle V\!} 分別是這個(gè)力學(xué)體系的動(dòng)能和勢(shì)能。

拉格朗日方程

拉格朗日力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)方程由 n {\displaystyle n} 個(gè)二階微分方程（拉格朗日方程）給出：

其中 Q i {\displaystyle Q_{i}} 為 q i {\displaystyle q_{i}} 所對(duì)應(yīng)的非保守的廣義力。

拉格朗日方程的地位等同于牛頓力學(xué)中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義。

拉格朗日力學(xué)的擴(kuò)展

哈密頓量 H {\displaystyle H} 可以通過對(duì)拉格朗日量進(jìn)行勒讓德變換得到。哈密頓量是經(jīng)典力學(xué)的另一種表述哈密頓力學(xué)的基礎(chǔ)。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標(biāo)可能值組成的組態(tài)空間的切叢上的函數(shù)，而哈密頓量是相對(duì)應(yīng)的余切叢上的函數(shù)。哈密頓量在量子力學(xué)中到處出現(xiàn)（參看哈密頓算符 (量子力學(xué))）。

1948年，費(fèi)曼發(fā)明了路徑積分表述，將最小作用量原理擴(kuò)展到量子力學(xué)。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態(tài)和終態(tài)的所有路徑；特定終態(tài)的概率是所有可能導(dǎo)向它的軌跡的概率之和。在經(jīng)典力學(xué)的范圍，路徑積分表述簡(jiǎn)單的退化為哈密頓原理。

參見

分析力學(xué)

哈密頓力學(xué)

達(dá)朗貝爾原理

參考文獻(xiàn)

梁昆淼：《力學(xué)》

朗道：《力學(xué)》

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