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概念

拉格朗日量是動能 T {\displaystyle T} 與勢能 V {\displaystyle V} 的差值：

通常，動能的參數(shù)為廣義速度 q ˙ ˙ --> 1 , q ˙ ˙ --> 2 , q ˙ ˙ --> 3 , … … --> , q ˙ ˙ --> N {\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}} （符號上方的點號表示對于時間 t {\displaystyle t} 的全導數(shù)），而勢能的參數(shù)為廣義坐標 q 1 , q 2 , q 3 , … … --> , q N ; t {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t} ，所以，拉格朗日量的參數(shù)為 q 1 , q 2 , q 3 , … … --> , q N ; q ˙ ˙ --> 1 , q ˙ ˙ --> 2 , q ˙ ˙ --> 3 , … … --> , q ˙ ˙ --> N ; t {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t} 。解析一個問題，最先要選擇一個合適的廣義坐標。然后，計算出其拉格朗日量。假定這些參數(shù)（廣義坐標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程來求得系統(tǒng)的運動方程。

假設一個物理系統(tǒng)的拉格朗日量為 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} ，則此物理系統(tǒng)的運動，以拉格朗日方程表示為

其中， t {\displaystyle t} 是時間， q i {\displaystyle q_{i}} 是廣義坐標， q ˙ ˙ --> i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}} 是廣義速度。

拉格朗日量與作用量的關系

一個物理系統(tǒng)的作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 是一種泛函，以數(shù)學方程定義為

其中， L ( q , q ˙ ˙ --> , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)} 是系統(tǒng)的拉格朗日量，廣義坐標 q = ( q 1 , q 2 , … … --> , q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)} 是時間 t {\displaystyle t} 的函數(shù)， t 1 {\displaystyle t_{1}} 和 t 2 {\displaystyle t_{2}} 分別為初始時間和終結(jié)時間。

假若，作用量的一次變分 δ δ --> S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0} ，作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 為平穩(wěn)值，則 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)} 正確地描述這物理系統(tǒng)的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程

詳盡相關導引，請參閱拉格朗日方程。

能量守恒定律

思考拉格朗日量對于時間的全導數(shù)：

將拉格朗日方程代入，可以得到

定義能量函數(shù) h ( q 1 , q 2 , q 3 , … … --> ; q ˙ ˙ --> 1 , q ˙ ˙ --> 2 , q ˙ ˙ --> 3 , … … --> ; t ) {\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)} 為

則能量函數(shù)與拉格朗日量有以下含時關系式：

假若拉格朗日量顯性地與時間無關， ? ? --> L ? ? --> t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0} ，則能量函數(shù)是個常數(shù)： h = E {\displaystyle {\mathit {h}}=E} 。稱這常數(shù) E {\displaystyle E} 為這物理系統(tǒng)的能量。因此，這物理系統(tǒng)的能量守恒 。

拉格朗日表述

重要性

拉格朗日表述是經(jīng)典力學的一種重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因為它可以廣泛應用在經(jīng)典力學；而更是因為它能夠幫助物理學家更深刻地了解一個物理系統(tǒng)的物理行為。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經(jīng)典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程的平穩(wěn)作用量原理，現(xiàn)在已被學術界公認為在量子力學也極具功用。

優(yōu)點

拉格朗日表述不會被任何坐標系統(tǒng)捆綁住。拉格朗日表述使用廣義坐標來描述系統(tǒng)的空間參數(shù)。它所涉及的物理量是動能與勢能，這些物理量的值不會隨廣義坐標的選擇而改變。因此，對于系統(tǒng)的種種約束，可以選擇一組最合適的廣義坐標，來計算問題的解答。

拉格朗日表述能夠簡易地延伸至其他學術領域。電路學、量子力學、粒子物理學、等等，都可以用拉格朗日表述來分析。

如果用同樣的表述可以分析不同學術領域的物理系統(tǒng)，這些系統(tǒng)必定有結(jié)構(gòu)上的類推。在一個學術領域的新發(fā)現(xiàn)，意味著很可能在另一個學術領域會有類似的現(xiàn)象。

可略坐標和守恒定律

拉格朗日量有一個優(yōu)良的性質(zhì)，那就是守恒定律可以很容易地從它的表達式讀出來。例如，假設拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 跟某廣義速度 q ˙ ˙ --> 2 {\displaystyle {\dot {q}}_{2}} 有關，而跟廣義坐標 q 2 {\displaystyle q_{2}} 無關，則對應的廣義動量 p 2 {\displaystyle p_{2}} 是一個守恒量。這種坐標稱為“可略坐標”，或“循環(huán)坐標”。更詳細地說，拉格朗日量的形式為

直接檢視，就可以發(fā)覺 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 跟 q 2 {\displaystyle q_{2}} 無關，因此可以推斷 p 2 {\displaystyle p_{2}} 是一個守恒量。

以此類推，假設，時間 t {\displaystyle t} 不在 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 的表達式里面，則哈密頓量守恒，即能量守恒。這種物理行為是諾特定理的一個特別案例。關于能量守恒問題，稍后會有更詳細解說。

經(jīng)典力學實例

假設，在三維空間里，一個運動中的粒子的動能為 T = 1 2 m r ˙ ˙ --> 2 = 1 2 m ( x 1 ˙ ˙ --> 2 + x 2 ˙ ˙ --> 2 + x 3 ˙ ˙ --> 2 ) {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x_{1}}}^{2}+{\dot {x_{2}}}^{2}+{\dot {x_{3}}}^{2})} ，勢能為 V ( r ) {\displaystyle V(r)} ，則拉格朗日量是

其中， m {\displaystyle m} 是粒子質(zhì)量， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是位置矢量， v {\displaystyle v} 是粒子的速度。

直角坐標系

采用直角坐標系。那么，拉格朗日方程就是

其中， x i {\displaystyle x_{i}} 是位置矢量 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的第 i {\displaystyle i} 個直角坐標分量。

那么，

這物理系統(tǒng)的運動方程為

由于勢能對于位置的負導數(shù)是作用力： F = ? ? --> ? ? --> V ( r ) {\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(r)} ，所以，

這方程與牛頓第二定律方程完全相同。由此可以觀察出，拉格朗日表述與牛頓表述的功能相等。

能量函數(shù) h {\displaystyle {\mathit {h}}} 為

由于拉格朗日量顯性地與時間無關，能量函數(shù) h {\displaystyle {\mathit {h}}} 是個常數(shù) E {\displaystyle E} 。

球坐標系

假設選擇球坐標系，則拉格朗日量是

其中， r {\displaystyle r} 是徑向距離， θ θ --> {\displaystyle \theta } 是天頂角， φ φ --> {\displaystyle \varph方位角 是方位角。

稍加運算，得到運動方程為：

特別注意， L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 跟 φ φ --> {\displaystyle \varphi } 無關。所以， φ φ --> {\displaystyle \varphi } 是可略坐標，角動量的z-分量 L z = m r 2 sin 2 ? ? --> θ θ --> φ φ --> ˙ ˙ --> {\displaystyle L_{z}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}} 是常數(shù)。

檢驗粒子的拉格朗日量

假定檢驗粒子的質(zhì)量和電荷超小，其對于外在系統(tǒng)的影響可以忽略。檢驗粒子時?？梢韵胂駷楹唵蔚馁|(zhì)點粒子，只擁有質(zhì)量和電荷性質(zhì)。像電子或上夸克一類的真實粒子具有更復雜的性質(zhì)，它們的拉格朗日量含有更多項目。

狹義相對論里的拉格朗日量

在狹義相對論的四維空間里，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

其中， m {\displaystyle m} 是粒子的靜質(zhì)量， c {\displaystyle c} 是光速， v {\displaystyle v} 是粒子的速度。

其拉格朗日方程為

其中， γ γ --> = 1 / 1 ? ? --> v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}洛倫茲因子是洛倫茲因子。

注意到動量 p i = γ γ --> m x ˙ ˙ --> i {\displaystyle p_{i}=\gamma m{\dot {x}}_{i}} 、作用力 F i = ? ? --> ? ? --> V ? ? --> x i {\displaystyle F_{i}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}} 。將這些公式代入拉格朗日方程，就可復制牛頓第二定律的方程：

因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

這粒子的廣義動量 p i {\displaystyle p_{i}} 定義為

假設這物理系統(tǒng)的勢能為零，這粒子是自由粒子，則此系統(tǒng)的能量函數(shù) h {\displaystyle h} 為

假設粒子速度超小于光速，則拉格朗日量的動能部分可以近似為

電動力學里的相對論性拉格朗日量

一個移動于電磁場的帶電粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

其中， q {\displaystyle q} 是帶電粒子的電荷量， ? ? --> {\displaystyle \phi } 是電勢， A {\displaystyle \mathbf {A} } 是磁矢勢。

其拉格朗日方程為

所以，

注意到作用力 F = d d t ( γ γ --> m x ˙ ˙ --> i ) {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac fpxjwww{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i電場} ，電場 E = ? ? --> ? ? --> ? ? --> {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi } ，磁場 B = ? ? --> × × --> A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } 。將這些公式代入上述方程，經(jīng)過一番運算，就可以得到洛倫茲力方程：

這拉格朗日量可以復制出洛倫茲力方程。因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

協(xié)變的拉格朗日量

前面這些拉格朗日量都不具有協(xié)變形式，當變換坐標系時，拉格朗日量的形式可能會有所改變。為了確保這形式不會改變，必須將拉格朗日量寫為協(xié)變形式。

對于自由粒子，作用量 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 為

其中， t 1 {\displaystyle t_{1}} 和 t 2 {\displaystyle t_{2}} 分別是初始時間和終結(jié)時間。

為了要使得拉格朗日量具有協(xié)變形式，必須引用張量來表達。采用愛因斯坦求和約定，注意到四維速度與自己的內(nèi)積：

其中， U α α --> = X ′ ′ --> μ μ --> = d X α α --> d τ τ --> = γ γ --> ( c , v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle U^{\alpha }=X^{\prime \mu }={\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma (c,v_{1},v_{2},v_{3})} 是四維速度，是四維坐標 X α α --> = ( c t , x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle X^{\alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})} 對于固有時 τ τ --> {\displaystyle \tau } 的導數(shù)（撇號表示對于固有時 τ τ --> {\displaystyle \tau } 的導數(shù)）。

將積分元素從微小時間元素 d t {\displaystyle dt} 改變?yōu)槲⑿」逃袝r元素 d τ τ --> {\displaystyle d\tau } ，由于 d t = γ γ --> d τ τ --> {\displaystyle dt=\gamma d\tau } ，協(xié)變的作用量可以寫為

協(xié)變的拉格朗日量 L ˉ ˉ --> {\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}} 變?yōu)?

其中， g α α --> β β --> {\displaystyle g_{\alpha \beta }} 是閔可夫斯基度規(guī)。

其拉格朗日方程為

注意到約束 U α α --> U α α --> = γ γ --> 2 ( c 2 ? ? --> v 2 ) = c 2 {\displaystyle U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}} ，這粒子只能運動于四維速度空間內(nèi)的特定的三維曲面。將這約束代入上述方程，可以正確地復制自由粒子的運動方程。

電動力學里的相對論性拉格朗日量的協(xié)變表述

現(xiàn)在假設這粒子是移動于電磁場的帶電粒子。電磁場的協(xié)變位勢可以寫為

其中， A α α --> = ( ? ? --> / c , ? ? --> A 1 , ? ? --> A 2 , ? ? --> A 3 ) {\displaystyle \mathbb {A} _{\alpha }=(\phi /c,-A_{1},-A_{2},-A_{3})} 是電磁四維勢。

協(xié)變的拉格朗日量 L ˉ ˉ --> {\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}} 是

其拉格朗日方程為

經(jīng)過一番運算，可以得到

其中， F μ μ --> α α --> {\displaystyle F_{\mu \alpha }} 是電磁張量。

這正是洛倫茲力方程的協(xié)變形式?？偨Y(jié)，協(xié)變的拉格朗日方程可以復制出協(xié)變的洛倫茲力方程

參見

哈密頓量

哈密頓原理

拉格朗日力學

哈密頓力學

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