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種類

已經(jīng)研究了各種有類型 lambda 演算。簡單類型lambda演算的類型只是基本類型（或類型變量）和函數(shù)類型 σ σ -->→ → -->τ τ -->{\displaystyle \sigma \to \tau }。系統(tǒng)T 向簡單類型 lambda 演算擴(kuò)展了自然數(shù)類型和更高階的原始遞歸函數(shù)；在這個(gè)系統(tǒng)中在可證明在皮亞諾算術(shù)中是遞歸函數(shù)的所有函數(shù)都是可定義的。系統(tǒng)F通過在所有類型上的全稱量化允許多態(tài)性；從邏輯的觀點(diǎn)看它可以描述可證明在二階邏輯中是全函數(shù)的所有函數(shù)。有依賴類型的 lambda 演算是直覺類型論，構(gòu)造演算和邏輯框架（LF）的基礎(chǔ)，它是帶有依賴類型的純 lambda 演算?；?Berardi 的工作，Barendregt 提議了 Lambda立方體來系統(tǒng)化純有類型 lambda 演算（包括簡單類型 lambda 演算，系統(tǒng) F，LF 和構(gòu)造演算）之間的關(guān)系。

某些有類型 lambda 演算介入“子類型”的概念，就是說如果 A{\displaystyle A} 是 B{\displaystyle B} 的子類型，則類型 A{\displaystyle A} 的所有項(xiàng)也有類型 B{\displaystyle B}。帶有子類型的有類型 lambda 演算是帶有合取類型和 F≤ ≤ -->{\displaystyle F^{\leq }} (F-sub) 的簡單類型 lambda 演算。

迄今提到的所有西，除了無類型 lambda 演算是例外，都是“強(qiáng)規(guī)范化”的：所有計(jì)算都會(huì)終止。結(jié)論是他們作為邏輯都是自恰的，就是說這里有無居留（uninhabited）類型。但是存在著不是強(qiáng)規(guī)范化的有類型 lambda 演算。比如帶有所有類型的一個(gè)類型（Type : Type）的依賴類型 lambda 演算由于Girard悖論而不是強(qiáng)規(guī)范化的。這個(gè)系統(tǒng)也是最簡單的純類型系統(tǒng)，它是推廣 Lambda立方體的一種形式化。有明確的遞歸組合子的系統(tǒng)，比如 Gordon Plotkin 的 PCF，不是規(guī)范化的，但是它們不意圖被解釋為邏輯。實(shí)際上，PCF（可計(jì)算函數(shù)的編程語言）是元典型（prototypical）的有類型的函數(shù)式編程語言，這里的類型被用來確保程序是有良好行為的而不必須是終止的。

應(yīng)用

有類型 lambda 演算在為編程語言設(shè)計(jì)新類型系統(tǒng)的時(shí)候扮演了關(guān)鍵性角色；這里類型能力通常捕獲了程序想要的性質(zhì)，比如程序不會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存訪問違規(guī)。

在編程中，強(qiáng)類型編程語言的例程（函數(shù)，過程，方法）密切關(guān)聯(lián)于有類型 lambda 表達(dá)式。Eiffel有一個(gè)“內(nèi)線代理”概念，使得有可能直接定義和操縱有類型 lambda 表達(dá)式，通過這種表達(dá)式如 agent (p: PERSON): STRING do Result := p.spouse.name end，指示表示返回一個(gè)人配偶的名字的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)對象。

參見

簡單類型lambda演算

系統(tǒng)F

邏輯框架

構(gòu)造演算

直覺類型論

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