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常見定義

設Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }為歐幾里得空間Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中的一個開集。設f:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }是一個勒貝格可測函數(shù)。如果函數(shù)f{\displaystyle f}在任意緊集K? ? -->Ω Ω -->{\displaystyle K\subset \Omega }上的勒貝格積分都存在：

那么就稱函數(shù)f{\displaystyle f}為一個Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }-局部可積的函數(shù)。所有在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上局部可積的函數(shù)的集合一般記為Lloc1(Ω Ω -->){\displaystyle \scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )}：

其中P0(Ω Ω -->){\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}}指Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }包含的所有的緊集的集合。

一般測度空間

對于更一般的測度空間(X,dμ μ -->){\displaystyle (X,d\mu )}，也可以類似地定義其上的局部可積函數(shù)。

性質(zhì)

所有Ω Ω -->{\displaystyle \Omega 連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)與可積函數(shù)都是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }-局部可積的函數(shù)。如果Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是有界的，那么Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的L2函數(shù)也是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }-局部可積的函數(shù)。

局部可積函數(shù)都是幾乎處處有界的函數(shù)(X,dμ μ -->){\displaystyle (X,d\mu )}，也可以類似地定義其上的局部可積函數(shù)。

復數(shù)值的函數(shù)f{\displaystyle f}是局部可積函數(shù)，當且僅當其實部函數(shù) Re(f):x→ → -->Re(f(x)){\displaystyle Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)}與虛部函數(shù) Im(f):x→ → -->Im(f(x)){\displaystyle Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)}都是局部可積函數(shù)。實數(shù)值的函數(shù)f{\displaystyle f}是局部可積函數(shù)，當且僅當其正部函數(shù) f+:x→ → -->(f(x))+{\displaystyle f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}}與負部函數(shù) f? ? -->:x→ → -->(f(x))? ? -->{\displaystyle f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}}都是局部可積函數(shù)。

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