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可積函數(shù)
勒貝格可積性給定集合X及其上的σ-代數(shù)σ和σ上的一個(gè)測度，實(shí)值函數(shù)f:X→R是可積的如果正部f和負(fù)部f都是可測函數(shù)并且其勒貝格積分有限。令為f的"正部"和&
勒貝格可積性
給定集合X及其上的σ-代數(shù)σ和σ上的一個(gè)測度，實(shí)值函數(shù)f:X → R是可積的如果正部f和負(fù)部f都是可測函數(shù)并且其勒貝格積分有限。令
為f的"正部"和"負(fù)部"。如果f可積，則其積分定義為
對于實(shí)數(shù)p ≥ 0，函數(shù)f是p-可積的如果|f| 是可積的；對于p = 1，也稱絕對可積。（注意f(x)是可積的當(dāng)且僅當(dāng)|f(x)|是可積的，所以"可積"和"絕對可積"在勒貝格意義下等價(jià)。）術(shù)語p-可和也是一樣的意義，常用于f是一個(gè)序列，而μ是離散測度的情況下。
這些函數(shù)組成的L p空間是泛函分析研究中的主要對象之一。
平方可積
我們說一個(gè)實(shí)變或者復(fù)變量的實(shí)值或者復(fù)值函數(shù)是在區(qū)間上平方可積的，如果其絕對值的平方在該區(qū)間上的積分是有限的。所有在勒貝格積分意義下平方可積的可測函數(shù)構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間，也就是所謂的L2空間，幾乎處處相等的函數(shù)歸為同一等價(jià)類。形式上，L是平方可積函數(shù)的空間和幾乎處處為0的函數(shù)空間的商空間。
這在量子力學(xué)上很有用，因?yàn)椴ê瘮?shù)必須在空間上平方可積才能從理論中得到物理可能解。
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