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定義

Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma \,}函數(shù)可歐拉過歐拉（Euler）第二類積分定義：

對復(fù)數(shù)z{\displaystyle z\,}，我們要求Re(z)>0{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}。

Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }函數(shù)還可以通過對e? ? -->t{\displaystyle \mathrm {e} ^{-泰勒\,}做泰勒展開，解析延拓到整個(gè)復(fù)平面： Γ Γ -->(z)=∫ ∫ -->1∞ ∞ -->tz? ? -->1etdt+∑ ∑ -->n=0∞ ∞ -->(? ? -->1)nn!1n+z{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm oylkjsk}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}}

這樣定義的Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }函數(shù)在全平面除了z=0,? ? -->1,? ? -->2,… … -->{\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }以外的地方解析。

Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }函數(shù)也可以用無窮乘積的方式表示：

Γ Γ -->(z)=1z∏ ∏ -->n=1∞ ∞ -->(1+zn)? ? -->1(1+1n)z{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}

這樣定義的Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }函數(shù)在全平面解析

無窮乘積

Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma \,}函數(shù)可以用無窮乘積表示：

其中γ γ -->{\displaystyle \gamma \,}是歐拉-馬歇羅尼常數(shù)。

Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }積分

? ? -->Γ Γ -->(α α -->)λ λ -->α α -->=∫ ∫ -->0∞ ∞ -->xα α -->? ? -->1e? ? -->λ λ -->xdx{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm 6j372yy}x}

遞推公式

Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma \,}函數(shù)的遞推公式為： Γ Γ -->(x+1)=xΓ Γ -->(x){\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}，

對于正整數(shù)n{\displaystyle n\,}，有

Γ Γ -->(n+1)=n!{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}，

可以說Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma \,}函數(shù)是階乘的推廣。

遞推公式的推導(dǎo)

Γ Γ -->(n+1)=∫ ∫ -->0∞ ∞ -->e? ? -->xxn+1? ? -->1dx=∫ ∫ -->0∞ ∞ -->e? ? -->xxndx{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm c74jsub x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm 4ql9ckt}x}

我們用分部積分法來計(jì)算這個(gè)積分：

∫ ∫ -->0∞ ∞ -->e? ? -->xxndx=[? ? -->xnex]0∞ ∞ -->+n∫ ∫ -->0∞ ∞ -->e? ? -->xxn? ? -->1dx{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm jwpyu38 x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm mw43ce5}x}

當(dāng)x=0{\displaystyle x=0\,}時(shí)，? ? -->0ne0=01=0{\displaystyle {\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0}。當(dāng)x{\displaystyle x\,}趨于無窮大時(shí)洛必達(dá)法則達(dá)法則，有：

limx→ → -->∞ ∞ -->? ? -->xnex=limx→ → -->∞ ∞ -->? ? -->n!? ? -->0ex=0{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0}。

因此第一項(xiàng)[? ? -->xnex]0∞ ∞ -->{\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}變成了零，所以：

Γ Γ -->(n+1)=n∫ ∫ -->0∞ ∞ -->xn? ? -->1exdx{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm frhotau}x}

等式的右面正好是nΓ Γ -->(n){\displaystyle n\Gamma (n)\,}。因此，遞推公式為：

重要性質(zhì)

Γ函數(shù)在實(shí)軸上的函數(shù)圖形

當(dāng)z→ → -->0+{\displaystyle z\to 0^{+}}時(shí)，Γ Γ -->(z)→ → -->+∞ ∞ -->{\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty }

歐拉反射公式：

乘法定理：

此外

此式可用來協(xié)助計(jì)算t分布概率密度函數(shù)、卡方分布概率密度函數(shù)、F分布概率密度函數(shù)等的累計(jì)概率。

極限性質(zhì)

對任何實(shí)數(shù)α

特殊值

導(dǎo)數(shù)

對任何復(fù)數(shù)z，滿足 Re(z) > 0，有

于是，對任何正整數(shù) m

其中 γ 是歐拉-馬歇羅尼常數(shù)。

復(fù)數(shù)值

斯特靈公式

斯特靈公式能用以估計(jì)Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }函數(shù)的增長速度。

解析延拓

Γ函數(shù)的絕對值函數(shù)圖形

注意到在Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }函數(shù)的積分定義中若取z{\displaystyle z\,}為實(shí)部大于零之復(fù)數(shù)、則積分存在，而且在右半復(fù)平面上定義一個(gè)全純函數(shù)。利用函數(shù)方程

并注意到函數(shù)sin? ? -->(π π -->z){\displaystyle \sin(\pi z)\,}在整個(gè)復(fù)平面上有解析延拓，我們可以在Re(z)<1{\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1}時(shí)設(shè)

從而將Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma \,}函數(shù)延拓為整個(gè)復(fù)平面上的亞純函數(shù)，它在z=0,? ? -->1,? ? -->2,? ? -->3? ? -->{\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots }有單極點(diǎn)，留數(shù)為

參見

雙伽瑪函數(shù)

多伽瑪函數(shù)

如何利用EXCEL求伽瑪函數(shù)的值

利用EXCEL中的GAMMALN函數(shù)，再用EXP[GAMMALN(X)],即可求得任意數(shù)的伽瑪函數(shù)的值。

舉例：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89298

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