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羅素悖論
羅素悖論我們通常希望：任給一個性質(zhì)，滿足該性質(zhì)的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論：羅素悖論：設(shè)命題函數(shù)P(x)表示“x?x”，現(xiàn)假設(shè)由性質(zhì)P確定一個集合A——也就是說“A={x|x?x}”。那么現(xiàn)在的問題是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，則A是A的元素，那么A不具有性質(zhì)P，由命題函數(shù)P知A?A；其次，若A?A，也就是說A具有性質(zhì)P，而A是由所有具有性質(zhì)P的類組成的，所以A∈A。羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理發(fā)師悖論、書目悖論。羅素悖論在類的理論中通過內(nèi)涵公理而得到解決。理發(fā)師悖論和羅素悖論等價理發(fā)師悖論和羅素悖論是等價的：因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發(fā)師悖論得到羅素悖論。反過來的變換也是成立的。...
羅素悖論
我們通常希望：任給一個性質(zhì)，滿足該性質(zhì)的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論：
羅素悖論：設(shè)命題函數(shù)P(x)表示“x?x”，現(xiàn)假設(shè)由性質(zhì)P確定一個集合A——也就是說“A={x|x ? x}”。那么現(xiàn)在的問題是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，則A是A的元素，那么A不具有性質(zhì)P，由命題函數(shù)P知A?A；其次，若A?A，也就是說A具有性質(zhì)P，而A是由所有具有性質(zhì)P的類組成的，所以A∈A。
羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理發(fā)師悖論、書目悖論。
羅素悖論在類的理論中通過內(nèi)涵公理而得到解決。
理發(fā)師悖論和羅素悖論等價
理發(fā)師悖論和羅素悖論是等價的：
因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發(fā)師悖論得到羅素悖論。反過來的變換也是成立的。
另一種等價的悖論為書目悖論，第一類的書的目錄有它自己的條目，經(jīng)典的例子就是維基百科，第二類的書目錄則沒有它自己的條目，一般的書目都是如此，問：若把所有第二類的書做個總目錄，它應不應該含有它自己的條目？
參考條目
理發(fā)師悖論
公理化數(shù)學
類的理論
羅素公理體系
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