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邏輯悖論的定義

拋開悖論的各種含義，通常所說的導(dǎo)致矛盾的悖論是指邏輯悖論。要成為一個邏輯悖論，應(yīng)當滿足如下條件：

有一個命題A，稱為悖論命題。

有一個邏輯系統(tǒng)L，稱為相關(guān)系統(tǒng)。

有一組命題E, 稱為背景命題。背景命題都是相關(guān)系統(tǒng)中的真命題。相關(guān)系統(tǒng)被簡化為背景命題，背景命題成為悖論證明的依據(jù)。

相關(guān)系統(tǒng)無法確定悖論命題A的真值，但如果假設(shè)A為真，則根據(jù)背景命題，可以推出A為假，反之，如果假設(shè)A為假，又可根據(jù)背景命題，推出A為真。

因此，要判斷一個悖論是否真的邏輯悖論，就是要確定要素A，L和E，特別是要確認E中的命題都是真命題。如果E中的命題不真，則這不是一個邏輯悖論，而是一個邏輯錯誤。所有邏輯悖論最終都可以歸結(jié)為一個命題A??A，稱為悖論情形(paradox situation)，是進一步推出矛盾的依據(jù)。問題是，A??A在相關(guān)系統(tǒng)中是不是一個真命題。如果是真命題，那么就可以由它推出矛盾，悖論成立，是相關(guān)系統(tǒng)有問題，需要改進。而且改進相關(guān)系統(tǒng)以消除悖論的思路也就在于如何避免這一悖論情形。如果不是真命題，那就不能由它推出矛盾，而且該悖論實際上就是一個邏輯錯誤：把一個假命題當作了真命題，并用它進行推理。

背景命題是根據(jù)悖論的描述歸納出來的，比較原始并接近悖論的描述。悖論情形是根據(jù)背景命題推理而得到的，進一步就可直接推出矛盾。因此，只有當所有背景命題中的命題都為真時，悖論情形才是一個真命題。所談?wù)摰你Ｕ摬攀且粋€真正的邏輯悖論。

例如羅素悖論，A=(R∈R)，L="樸素集合論"，E只有一個命題：R∈R?R?R。背景命題為真是因為樸素集合論有一個概括公理：對任意性質(zhì)P(x)，存在集合S，使得對任意對象x，x∈S?P(x)成立。即存在集合S，它剛好包含所有具備性質(zhì)P(x)的對象，而且只包含具備性質(zhì)P(x)的對象。令P(x)=(x?x)，即x為不包含自己的集合，大多數(shù)集合都不包含自己，包含自己的集合很難想象，只是理論上不排除它的存在而已，則根據(jù)概括公理有：x∈R?x?x。又因為R本身也是一個對象，令x=R，則得到背景命題R∈R?R?R，背景命題為真因為它是推出來的。根據(jù)樸素集合論無法確定R∈R的真值，但如果假設(shè)R∈R為真，則根據(jù)R∈R?R?R，可以推出R?R，即R∈R為假。反之，如果假設(shè)R∈R為假，即R?R，則根據(jù)R∈R?R?R，又可以推出R∈R，即R∈R為真。所以羅素悖論是樸素集合論的一個悖論。因為R?R=?(R∈R)，所以背景命題就是悖論情形A??A。

因為有羅素悖論，所以現(xiàn)代的集合論去掉了概括公理，而且將集合限制在一個很小的范圍內(nèi)，從而解決了悖論的問題。盡管集合被限制在一個很小的范圍內(nèi)，但已足以表示數(shù)學(xué)的基本要素，如數(shù)，形等，所以現(xiàn)代集合論仍可以作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

再舉一個理發(fā)師悖論的例子，小城里的理發(fā)師放出豪言：他要為，而且只為，小城里所有不為自己刮臉的人刮臉。但問題是，理發(fā)師該給自己刮臉嗎？在這里A="理發(fā)師給自己刮臉"，L="普通邏輯"，就是大家根據(jù)常理而使用的邏輯，E有兩個命題，一個是E1="理發(fā)師給理發(fā)師刮臉"?"理發(fā)師給自己刮臉"，這是個真命題因為"理發(fā)師"就是"自己"。另一個命題是E2="理發(fā)師給小城里的任意一人刮臉"?(?"該任意一人給自己刮臉")，該命題被認為是真的因為它是理發(fā)師的豪言，而且一般也認為它可以為真。因為理發(fā)師是小城里的某人，因此由E2將"理發(fā)師"代入"小城里的任意一人"，可得"理發(fā)師給理發(fā)師刮臉"?(?"理發(fā)師給自己刮臉")，再根據(jù)E1修改等價關(guān)系的左邊可得"理發(fā)師給自己刮臉"?(?"理發(fā)師給自己刮臉")，這就是最終歸結(jié)出的A??A的悖論情形。

理發(fā)師悖論是否邏輯悖論取決于E2在普通邏輯中是否為真。理發(fā)師的豪言是一個全稱命題。全稱命題為真當且僅當將所有小城里的人逐個代入命題中"小城里的任意一人"時都為真，否則為假?，F(xiàn)將理發(fā)師代入時得到A??A。我們正在驗證A??A是否為真，而并沒有推出A??A為真，因此普通邏輯并沒有保證A??A為真。當邏輯系統(tǒng)不能證明A??A為真時，它是個假命題，因為等價關(guān)系兩邊不一致（如果邏輯系統(tǒng)可以證明，那就是邏輯系統(tǒng)有問題，因為它推出了一個應(yīng)該是假的命題）。因此，理發(fā)師的豪言實際上是一個假命題，是由于理發(fā)師忽略了他的豪言對自己不成立造成的。所以理發(fā)師悖論不是一個邏輯悖論?；蛘哒f普通邏輯在這里并沒有問題，還是可靠的。

那為什么一般會認為E2可以為真呢？這其實是一種由于忽略而造成的錯覺。有一種命題，沒有確定的真值，可真可假，叫做自由命題。例如，"某人給自己刮臉"，它的真值取決于該某人的意愿，因此可真可假。另一個例子是"命題M"，而沒有具體說明M是什么，它也是一個自由命題。對于一個等價關(guān)系命題F?G，如果命題F和命題G都不是自由命題，而有確定的真值，那么該等價關(guān)系是否為真取決于F和G的真值。如果它們的真值一致，則該等價關(guān)系命題為真，否則為假。但如果F和G中至少有一個為自由命題，則該等價關(guān)系命題總為真，因為無非是其中的一個自由命題失去了它的自由度，不再自由了。如果F和G都是自由命題，則只剩下一個自由度了。

在理發(fā)師悖論里，F(xiàn)="理發(fā)師給小城里的任意一人刮臉"和G=(?"該任意一人給自己刮臉")都是自由命題，因此人們習(xí)慣地就接受理發(fā)師的豪言E2="理發(fā)師給小城里的任意一人刮臉"?(?"該任意一人給自己刮臉")為真命題了，無非是理發(fā)師犧牲了他的自由度而已。人們忽略的情況是，F(xiàn)和G可能出現(xiàn)反相關(guān)的情況，即在某種情況下會發(fā)生F?(?G)的可能性。而這正是將"理發(fā)師"代入"小城里的任意一人"所發(fā)生的情況。如果F和G反相關(guān)，等價命題F?G是不能成立的，因為等價關(guān)系兩邊不一致。因此，人們是在忽略了一種特殊情況后根據(jù)習(xí)慣接受了一個假命題，所以才以為這是一個悖論。

悖論情形A??A中的A是一個自由命題，但由于等價關(guān)系兩邊的命題是反相關(guān)的，所以等價關(guān)系不能成立。

理發(fā)師悖論的教訓(xùn)是：在作出等價關(guān)系命題時，一定要檢查等價關(guān)系的兩邊是否存在反相關(guān)的情況，或者 附加上當?shù)葍r關(guān)系的兩邊不存在反相關(guān)的條件。這就像在做除法時，一定要檢查除數(shù)不為0一樣。在一個邏輯系統(tǒng)中，公理和定義經(jīng)常帶有等價關(guān)系命題，忽略了相關(guān)性檢查，就可能導(dǎo)致悖論。羅素悖論的直接原因就是由于概括公理的等價關(guān)系出現(xiàn)了反相關(guān)。說謊者悖論也是因為語義定義中的等價關(guān)系出現(xiàn)了反相關(guān)。

那么是否可以不去掉概括公理，而只對概括公理中的性質(zhì)加以限制，保證不出現(xiàn)反相關(guān)的情況，從而解決羅素悖論呢？這樣做確實可以消除羅素悖論，但并不足以解決集合論的問題。矛盾仍然可能由集合運算而產(chǎn)生。因此，集合論的問題有更深層的原因，而人們還不知道是什么原因。這是為什么現(xiàn)代集合論除了去掉概括公理，還要把集合限制在很小范圍內(nèi)的原因。

邏輯悖論的含義

邏輯系統(tǒng)不能有矛盾。因此，如果存在悖論，則說明邏輯系統(tǒng)有問題，應(yīng)當通過修改邏輯系統(tǒng)以消除悖論。例如現(xiàn)代集合論通過修改自己避免了悖論。盡管現(xiàn)代集合論仍可作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但與樸素集合論相比，已經(jīng)失去了許多內(nèi)容。例如，把一個班的學(xué)生看成一個集合就沒有現(xiàn)代集合論的根據(jù)。因此，集合論悖論的問題并沒有得到真正解決。

由于還存在一些古老的悖論，如"說謊者悖論"，所以有人認為悖論是不可避免的。但筆者認為，悖論的存在只說明邏輯系統(tǒng)有問題。一旦找到了邏輯系統(tǒng)的更好的定義，悖論是可以被徹底解決的。因此悖論不是不可避免的。"說謊者悖論"說明人們對語義的認識還不夠。集合論悖論說明人們對集合的認識還不夠?？傆幸惶?，它們都是可以被解決的。

經(jīng)典悖論

古希臘四大悖論

錢包悖論

說謊者悖論

蘇格拉底悖論

唐·吉訶德悖論

Braess悖論

集合論悖論

數(shù)理邏輯悖論

物理學(xué)悖論

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先有雞還是先有蛋

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政治悖論

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