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例子

有理數空間不是完備的，因為2{\displaystyle {\sqrt {2}}}的有限位小數表示是一個柯西序列，但是其極限2{\displaystyle {\sqrt {2}}}不在有理數空間內。

實數空間是完備的

開區(qū)間(0,1)不是完備的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收斂于(0, 1)中任何的點。

令S為任一集合，S為S中的所有序列。如下定義S上任意兩個序列(xn)和(yn)的距離：如果存在某個最小的N，使xN≠ ≠ -->yN{\displaystyle x_{N}\neq y_{N}}，那么定義距離為1/N；否則（所有的對應項都相等）距離為0。按此方式定義的度量空間是完備的。同胚間同胚于離散空間S的可數個副本的積。

直觀理解

直觀上講，一個空間完備就是指“沒有孔”且“不缺皮”，兩者都是某種“不缺點”。沒有孔是指內部不缺點，不缺皮是指邊界上不缺點。從這一點上講，一個空間完備同一個集合的閉包是類似的。這一類似還體現(xiàn)在以下定理中：完備空間的閉子集是完備的。

相關定理

任一緊致度量空間都是完備的。實際上，一個度量空間是緊致的當且僅當該空間是完備且完全有界的。

完備空間的任一子空間是完備的當且僅當它是一個閉子集。

若X為一集合，M是一個完備度量空間，則所有從X映射到M的有界函數f的集合B(X, M)是一個完備度量空間，其中集合B(X, M)中的距離定義為：

若X為一拓撲空間，M是一個完備度量空間，則所有從X映射到M的連續(xù)有界函數f的集合Cb(X,M)是B(X, M)（按上一條目的定義）中的閉子集，因而也是完備的。

貝爾綱定理：任一完備度量空間為一貝爾空間。就是說，該空間的可數個無處稠密子集的并集無內點。

完備化

定義

對任一度量空間M，我們可以構造相應的完備度量空間M" （或者表示為Mˉ ˉ -->{\displaystyle {\bar {M}}}），使得原度量空間成為新的完備度量空間的稠密子空間。M" 具備以下普適性質：若N為任一完備度量空間，f為任一從M到N連續(xù)函數續(xù)函數，則存在唯一的從M" 到N的一致連續(xù)函數f" 使得該函數為f的擴展。新構造的完備度量空間M" 在等距同構意義下由該性質所唯一決定，稱為M的完備化空間。

以上定義是基于M是M"的稠密子空間的概念。我們還可以將完備化空間定義為包含M的最小完備度量空間?？梢宰C明，這樣定義的完備化空間存在，唯一（在等距同構意義下），且與上述定義等價。

對于交換環(huán)及于其上的模，同樣可以定義相對于一個理想的完備性及完備化。詳見條目完備化 (環(huán)論)。

構造

類似于從有理數域出發(fā)定義無理數的方法，我們可以通過柯西序列給原空間添加元素使其完備。

對M中的任意兩個柯西序列x=(xn)和y=(yn)，我們可以定義它們間的距離： d(x,y) = limn d(xn,yn)（實數域完備所以該極限存在）。按此方式定義的度量還只是偽度量，這是因為不同的柯西序列均可收斂到0。但我們可以象很多情況中所做的一樣（比如從L到Lp{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}），將新的度量空間定義為所有柯西序列的集合上的等價類的集合，其中等價類是基于距離為0的關系（易于驗證該關系是等價關系）。這樣，令ξx = {y是M上的柯西序列：yn→ → -->x{\displaystyle y_{n}\rightarrow x}}，M" ={ξx：x ∈ M}，原空間M就以x→ → -->{\displaystyle \rightarrow }ξx的映射方式嵌入到新的完備度量空間M" 中。易于驗證，M等距同構于M" 的稠密子空間。

康托法構造實數是該完備化方法的一個特例：實數域是有理數域作為以通常的差的絕對值為距離的度量空間的完備化空間。

性質

康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為p進數。

若將上述流程施于賦范向量空間，可得到一個巴拿赫空間，原空間是其中的稠密子空間。若施于一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。

相關概念

完備與閉：前面講，完備類似于閉，那么，“完備”與“閉”的區(qū)別在何處呢？它們的區(qū)別在于，完備是空間或集合的性質，而閉是子集的性質。通常我們說某個集合是閉集或開集，實際上是指該集合是R或某個拓撲空間的閉子集或開子集。例如，開區(qū)間(0, 1)是全集(0, 1)或(0,1)∪ ∪ -->(2,3){\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}的閉子集，因為(0, 1)在這兩個全集中的導集是其自身。但(0, 1)是R的開子集。閉子集可以用收斂序列定義，因為收斂序列的極限點總是在全集中的，極限點在子集中與否決定該子集是否為閉子集。與此相對，完備性的定義中沒有全集的概念，這也是為什么在其定義中必須用柯西序列而不能用收斂序列，因為在收斂序列的定義中必有極限點，若該極限點不在度量空間中，則收斂序列中的點到該極限點距離是未定義的。

參見

數學分析術語

引用

Tsolomitis, Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis. Functional analysis an introduction. Providence, RI: American Mathematical Soc. 2004. ISBN 9780821836460. 

張恭慶，林源渠，泛函分析講義 (1987)北京大學出版社，ISBN 978-7-301-00489-0/O.097

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