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簡(jiǎn)單電偶極子案例

一般而言，給定在區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} 內(nèi)的連續(xù)電荷分布，其電偶極矩為

其中， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是場(chǎng)位置， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 是源位置， ρ ρ --> ( r ′ ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ")} 是在源位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 的電荷密度， d 3 r ′ {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} "} 是微小體元素。

設(shè)定 N {\displaystyle N} 個(gè)點(diǎn)電荷，則電荷密度是 N {\displaystyle N} 個(gè)狄拉克δ函數(shù)的總和：

其中， r i ′ {\displaystyle \mathbf {r} _{i}"} 是點(diǎn)電荷 q i {\displaystyle q_{i}} 的位置矢量。

這些點(diǎn)電荷的電偶極矩為

對(duì)于兩個(gè)同電量異性的電荷案例，標(biāo)記正電荷與負(fù)電荷的位置分別為 r + ′ {\displaystyle \mathbf {r} _{+}"} 、 r ? ? --> ′ {\displaystyle \mathbf {r} _{-}"} ，則電偶極矩為

電偶極矩 p ( r ) {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )} 與位移矢量 d {\displaystyle \mathbf d1fxqm0 } 的方向相同，都是從負(fù)電荷指向正電荷。由于電偶極子是中性的，電偶極矩與觀察者的參考點(diǎn) r {\displaystyle \mathbf {r} } 無(wú)關(guān)。

設(shè)定 N {\displaystyle N} 個(gè)電偶極子，其電偶極矩分別為 p i ,   i = 1 , 2 , … … --> , n {\displaystyle \mathbf {p} _{i},\ i=1,2,\dots ,n} ，則這些電偶極子的總電偶極矩為

由于每一個(gè)電偶極子都是中性的，整個(gè)系統(tǒng)也是中性的。因此，總電偶極矩與觀察者的參考點(diǎn) r {\displaystyle \mathbf {r} } 無(wú)關(guān)。

當(dāng)論述像質(zhì)子、電子一類(lèi)的非中性系統(tǒng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)電偶極矩與參考點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題。對(duì)于這些案例，常規(guī)是選擇系統(tǒng)的質(zhì)心為參考點(diǎn)，而不是任意點(diǎn) 。電量中心似乎是比較合理的參考點(diǎn)，但是這會(huì)造成電偶極矩等于零的結(jié)果。選擇質(zhì)心為參考點(diǎn)可以保證電偶極矩是系統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)稟性質(zhì)（ intrinsic property ）。

電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)與電場(chǎng)

  物理電偶極子跟場(chǎng)位置之間的距離關(guān)系。

如右圖所示，設(shè)定正電荷 + q {\displaystyle {+}q} 與負(fù)電荷 ? ? --> q {\displaystyle {-}q} 的位置分別為 r + = ( 0 , 0 , d / 2 ) {\displaystyle \mathbf {r} _{+}=(0,0,d/2)} 、 r ? ? --> = ( 0 , 0 , ? ? --> d / 2 ) {\displaystyle \mathbf {r} _{-}=(0,0,-d/2)} ，則在場(chǎng)位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的電勢(shì) ? ? --> {\displaystyle \phi } 為

應(yīng)用余弦定理，假設(shè)場(chǎng)位置離電偶極子足夠遠(yuǎn)， d / 2 ? ? --> r {\displaystyle d/2\ll r} ，則 1 / r + {\displaystyle 1/r_{+}} 、 1 / r ? ? --> {\displaystyle 1/r_{-}} 可以分別近似為

將這兩個(gè)公式代入電勢(shì)的方程，可以得到

設(shè)定電偶極矩 p {\displaystyle \mathbf {p} } 為

其中， d {\displaystyle \mathbf phwsjap } 是從負(fù)電荷指至正電荷的位移矢量。

則電勢(shì)以矢量標(biāo)記為

電偶極子的電勢(shì)隨著距離平方遞減；而單獨(dú)電荷是隨著距離的一次方遞減。所以電偶極子的電勢(shì)遞減速度比單獨(dú)電荷快很多。

電偶極子的電場(chǎng)是電勢(shì)的負(fù)梯度。采用球坐標(biāo) ( r , θ θ --> , φ φ --> ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ，電場(chǎng) E {\displaystyle \mathbf {E} } 的三個(gè)分量 E r {\displaystyle E_{r}} 、 E θ θ --> {\displaystyle E_{\theta }} 、 E φ φ --> {\displaystyle E_{\varphi }} 分別為

或者，以矢量表示為

注意到這個(gè)方程并不完全正確，這是因?yàn)殡娕紭O子的電勢(shì)有一個(gè)奇點(diǎn)在它所處的位置（原點(diǎn) O {\displaystyle \mathbf {O} } ）。更仔細(xì)地推導(dǎo)，可以得到電場(chǎng)為

其中， δ δ --> 3 ( r ) {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )} 是三維狄拉克δ函數(shù)

更詳盡細(xì)節(jié)，請(qǐng)參閱偶極子。

電偶極矩密度與電極化強(qiáng)度

假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)里有 N {\displaystyle N} 個(gè)電荷，標(biāo)記第 i {\displaystyle i} 個(gè)電荷 q i {\displaystyle q_{i}} 的位置為 r i ′ {\displaystyle \mathbf {r} _{i}"} ，則這系統(tǒng)的電偶極矩 p = ∑ ∑ --> i = 1 N   q i r i ′ {\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\mathbf {r} _{i}"} 給出其極化程度。但是，對(duì)于中性系統(tǒng)，電偶極矩?zé)o法給出這些電荷的位置資料?！半娕紭O矩密度” p ( r ′ ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}(\mathbf {r} ")} 定義為每單位體積的電偶極距；它可以給出在空間內(nèi)某區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} 的總電偶極矩：

區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} 的電偶極矩密度 p ( r ′ ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}(\mathbf {r} ")} 所產(chǎn)生的電勢(shì)為

在計(jì)算包含這些電荷的區(qū)域的電勢(shì)或電場(chǎng)時(shí)，電極化強(qiáng)度 P ( r ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )} 擁有關(guān)于這些電荷的一些資料。假若要更準(zhǔn)確地計(jì)算電勢(shì)或電場(chǎng)，則電極化強(qiáng)度必需擁有更多關(guān)于這些電荷的資料。對(duì)于某些案例，只設(shè)定 P ( r ) = p ( r ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )={\mathfrak {p}}(\mathbf {r} )} 就足夠準(zhǔn)確了；對(duì)于有些特別案例，可能需要給出更多細(xì)節(jié)描述，例如，除了電偶極矩密度以外，再添加電四極矩密度（ electric quadrapole moment density ）資料。

介電質(zhì)內(nèi)部的自由電荷與束縛電荷

束縛電荷是束縛于介電質(zhì)內(nèi)部某微觀區(qū)域的電荷。這微觀區(qū)域指的是像原子或分子一類(lèi)的區(qū)域。自由電荷是不束縛于介電質(zhì)內(nèi)部某微觀區(qū)域的電荷。電極化會(huì)稍微改變物質(zhì)內(nèi)部的束縛電荷的位置，雖然這束縛電荷仍舊束縛于原先的微觀區(qū)域，這形成一種不同的電荷密度，稱(chēng)為“束縛電荷密度” ρ ρ --> b o u n d {\displaystyle \rho _{bound}} ：

總電荷密度 ρ ρ --> t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 是“自由電荷密度” ρ ρ --> f r e e {\displaystyle \rho _{free}} 與束縛電荷密度的總和：

在介電質(zhì)的表面，束縛電荷以表面電荷的形式存在，其表面密度稱(chēng)為“面束縛電荷密度” σ σ --> b o u n d {\displaystyle \sigma _{bound}} ：

其中， n ^ ^ --> o u t {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}_{\mathrm {out} }\,} 是從介電質(zhì)表面往外指的法矢量。假若，介電質(zhì)內(nèi)部的電極化強(qiáng)度是均勻的， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是個(gè)常數(shù)矢量，則這介電質(zhì)所有的束縛電荷都是面束縛電荷。

高斯定律表明，電場(chǎng)的散度等于總電荷密度 ρ ρ --> t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 除以電常數(shù)：

電極化強(qiáng)度的散度等于負(fù)束縛電荷密度：

電勢(shì)移 D {\displaystyle \mathbf {D} } 以方程定義為

所以，電勢(shì)移的散度等于自由電荷密度 ρ ρ --> f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ：

介電質(zhì)產(chǎn)生的電勢(shì)

假設(shè)一介電質(zhì)擁有自由電荷密度 ρ ρ --> f r e e ( r ′ ) {\displaystyle \rho _{free}(\mathbf {r} ")} 、電偶極矩密度 p ( r ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}(\mathbf {r} ")} 、電四極矩密度 Q ( r ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {Q}}}(\mathbf {r} ")} 等等，平滑地分布于區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} ，則其電勢(shì)為

其中， x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 、 x 3 {\displaystyle x_{3}} 是 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的三個(gè)直角坐標(biāo)。

為了方便運(yùn)算，只取至電偶極矩密度項(xiàng)目，

應(yīng)用矢量恒等式與分部積分法，帶單撇號(hào)的梯度符號(hào)表示對(duì)于源位置的偏微分，

積分方程的右手邊第二個(gè)項(xiàng)目變?yōu)?/span>

應(yīng)用散度定理，

假設(shè)區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} 變?yōu)闊o(wú)窮大，則其閉曲面 S ′ {\displaystyle \mathbb {S} "} 的積分項(xiàng)目趨向于零，所以，

注意到電勢(shì)乃是由總電荷決定：

由于積分于任意體積，以下全等式成立（由于不會(huì)造成歧義，可以不使用單撇號(hào)）：

因此，束縛電荷密度與電偶極矩密度的關(guān)系為

設(shè)定電極化強(qiáng)度為電偶極矩密度 ： P = p {\displaystyle \mathbf {P} ={\boldsymbol {\mathfrak {p}}}} ，則

類(lèi)似地，可以將電四極矩密度項(xiàng)目加入為電極化強(qiáng)度的一部分。例如，在計(jì)算電磁波的散射于介電質(zhì)時(shí)，電荷、電偶極子、電多極子等等，這些實(shí)體會(huì)各自不同地散射電磁波，因此，可能需要使用比電偶極矩近似法更加精確的方法 。

面束縛電荷密度

  均勻電偶極子分布會(huì)造成面束縛電荷的出現(xiàn)。簡(jiǎn)圖上方的藍(lán)色粗線(xiàn)表示負(fù)性面電荷；下方的紅色粗線(xiàn)表示正性面電荷。

前面論述做了一個(gè)假設(shè)，即區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} 變?yōu)闊o(wú)窮大。這假設(shè)促使閉曲面 S ′ {\displaystyle \mathbb {S} "} 的積分項(xiàng)目趨向于零；倘若不作這假設(shè)，倘若區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} 的體積為有限尺寸，則閉曲面 S ′ {\displaystyle \mathbb {S} "} 的積分項(xiàng)目會(huì)展示出面束縛電荷。如右圖所示，電偶極子均勻地分布于區(qū)域內(nèi)部，每一個(gè)電偶極子的矢頭（正電荷）與矢尾（負(fù)電荷）會(huì)互相抵消。但是，在這區(qū)域的閉曲面，矢頭與矢尾無(wú)法互相抵消，電偶極子的矢頭形成了正性面電荷，而矢尾形成了負(fù)性面電荷。這兩組異性面電荷會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，其方向與電偶極矩的方向相反。

假設(shè)自由電荷密度為零，電極化強(qiáng)度為電偶極矩密度，則電勢(shì)以方程表示為

設(shè)定束縛電荷密度為

其中， n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 是閉曲面 S ′ {\displaystyle \mathbb {S} "} 的法矢量，從 S ′ {\displaystyle \mathbb {S} "} 往外指出。

那么，在區(qū)域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} "} 內(nèi)的電偶極子分布所產(chǎn)生的電勢(shì)，可以視為是由體束縛電荷密度 ρ ρ --> b o u n d {\displaystyle \rho _{bound}} 與面束縛電荷密度 σ σ --> b o u n d {\displaystyle \sigma _{bound}} 共同產(chǎn)生：

范例：處于均勻外電場(chǎng)的介電質(zhì)球

  假設(shè)介電質(zhì)球的相對(duì)電容率大于四周環(huán)境的電極化率，當(dāng)施加均勻外電場(chǎng)后，電勢(shì)移場(chǎng)線(xiàn)展示出的圖樣 。

思考處于均勻外電場(chǎng) E ∞ ∞ --> = E ∞ ∞ --> z ^ ^ --> {\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }=E_{\infty }{\hat {\mathbf {z} }}} 的一個(gè)線(xiàn)性均勻介電質(zhì)球，其相對(duì)電容率為 ? ? --> r {\displaystyle \epsilo球坐標(biāo)系r}} 。采用球坐標(biāo)系 ( r , θ θ --> , ? ? --> ) {\displaystyle (r,\th方位角對(duì)稱(chēng)\phi )} ，則對(duì)于方位角對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)，拉普拉斯方程的一般解為

其中， A l ( cos ? ? --> θ θ --> ) {\displaystyle A_{l}(\cos {\theta })} 是系數(shù)， P l ( cos ? ? --> θ θ --> ) {\displaystyle P_{l}(\cos {\勒讓德多項(xiàng)式})} 是勒讓德多項(xiàng)式。

設(shè)定球坐標(biāo)系的原點(diǎn)與介電質(zhì)球的球心同位置，在球內(nèi)部，不容許 r ? ? --> ( l + 1 ) {\displaystyle r^{-(l+1)}} 項(xiàng)目存在，否則，在球心位置，電勢(shì)會(huì)發(fā)散，所以，

在球外部，當(dāng) r {\displaystyle r} 超大于球半徑 R {\displaystyle R} 時(shí)，外電場(chǎng)項(xiàng)目是主要項(xiàng)目，其它項(xiàng)目都趨向于零，因此電勢(shì)趨向于 ? ? --> E ∞ ∞ --> r cos ? ? --> θ θ --> {\displaystyle -E_{\infty }r\cos {\theta }} ，所以，

在球表面，兩電勢(shì)函數(shù)必需滿(mǎn)足以下邊界條件：

匹配 P l ( cos ? ? --> θ θ --> ) {\displaystyle P_{l}(\cos {\theta })} 相同的項(xiàng)目，第一個(gè)邊界條件導(dǎo)致

第二個(gè)邊界條件導(dǎo)致

從這些方程，經(jīng)過(guò)一番運(yùn)算，可以得到

其它系數(shù)都等于零：

所以，在球外部，電勢(shì)為

這等價(jià)于外電場(chǎng) E ∞ ∞ --> {\displaystyle \mathbf {E} _{\infty }} 與電偶極矩 p = 4 π π --> ? ? --> 0 ( ( ? ? --> r ? ? --> 1 ) R 3 ? ? --> r + 2 ) E ∞ ∞ --> {\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \epsilon _{0}\left({\frac {(\epsilon _{r}-1)R^{3}}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }} 所共同產(chǎn)生的電勢(shì)，或者，外電場(chǎng)與電偶極矩密度 p = p V = 3 ? ? --> 0 ( ? ? --> r ? ? --> 1 ? ? --> r + 2 ) E ∞ ∞ --> {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {p}}}={\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\epsilon _{0}\left({\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }} 、半徑為 R {\displaystyle R} 的介電質(zhì)球所共同產(chǎn)生的電勢(shì)。

因子 ? ? --> r ? ? --> 1 ? ? --> r + 2 {\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}} 稱(chēng)為克勞修斯-莫索提因子。這因子顯示出，假若 ? ? --> r < 1 {\displaystyle \epsilon _{r}&l正負(fù)號(hào)} ，則感應(yīng)電極化強(qiáng)度會(huì)改變正負(fù)號(hào)。當(dāng)然，實(shí)際上，由于介電質(zhì)的 ? ? --> r ≥ ≥ --> 1 {\displaystyle \epsilon _{r}\geq 1} ，這狀況永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生。但是，假設(shè)這介電質(zhì)球含有兩種不同的介電質(zhì)， ? ? --> r {\displaystyle \epsilon _{r}} 會(huì)被替代為內(nèi)層與外層的相對(duì)電容率的比例，而這比例有可能大于或小于1。

在球內(nèi)部，電勢(shì)為

電場(chǎng)為

這顯示出電偶極子的“去電極化效應(yīng)”，所產(chǎn)生的去極化場(chǎng) E p {\displaystyle \mathbf {E} _{p}} 為

注意到在介電質(zhì)球內(nèi)部，電場(chǎng)具有均勻性，并且與外電場(chǎng)平行。電場(chǎng)與電偶極矩密度的關(guān)系為

電偶極矩密度也是均勻的，所以，體束縛電荷密度為零：

在介電質(zhì)球表面，面束縛電荷密度是內(nèi)外兩電場(chǎng)的徑向分量的差值，或電偶極矩密度與徑向單位矢量的內(nèi)積：

基本粒子的電偶極矩

近期，有很多實(shí)驗(yàn)研究專(zhuān)注于測(cè)量基本粒子和復(fù)合粒子的電偶極矩，這包括電子、中子、μ子、τ子、水銀等等。這是一項(xiàng)非常熱門(mén)的題目，電偶極矩的存在違反了宇稱(chēng)對(duì)稱(chēng)性（P）與時(shí)間對(duì)稱(chēng)性（ time symmetry ）（T） 。假定CPT對(duì)稱(chēng)性（ CPT symmetry ）正確無(wú)誤，則由于時(shí)間破壞，電偶極矩?cái)?shù)值會(huì)給出一個(gè)大自然CP破壞的衡量，并且這衡量與理論模型幾乎無(wú)關(guān)。因此，電偶極矩?cái)?shù)值給CP破壞的尺寸設(shè)定了強(qiáng)約束；粒子物理學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型的任何延伸都必需遵守這強(qiáng)約束。

因?yàn)椴环线@越來(lái)越嚴(yán)格的電偶極矩上限，很多理論實(shí)際已被否定 。換另一方面思考，已確立的理論——量子色動(dòng)力學(xué)——所允許的電偶極矩?cái)?shù)值比限制大了許多；這導(dǎo)致出強(qiáng)CP問(wèn)題（ strong CP problem ）：為什么似乎量子色動(dòng)力學(xué)并沒(méi)有摧毀CP對(duì)稱(chēng)性？這也促使物理學(xué)者積極地尋找像軸子一類(lèi)的新粒子 。

物理學(xué)者精心設(shè)計(jì)的最新一代實(shí)驗(yàn)對(duì)于電偶極矩的超對(duì)稱(chēng)值域具有高靈敏度；這與正在大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)相輔互成 。

對(duì)于各種粒子的電偶極矩，現(xiàn)在最準(zhǔn)確的估計(jì)為

理論

  由于內(nèi)稟電偶極矩而產(chǎn)生的宇稱(chēng)（P）破壞和時(shí)間反演（T）破壞。

假設(shè)基本粒子擁有內(nèi)稟電偶極矩，則宇稱(chēng)（P）和時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性（T）都會(huì)被破壞。舉例而言，思考中子的磁偶極矩和假定的電偶極矩，這兩種矢量的方向必需相同。但是，時(shí)間反演會(huì)逆反磁偶極矩的方向，不會(huì)改變電偶極矩的方向 ；空間反演（宇稱(chēng)）會(huì)逆反電偶極矩的方向，不會(huì)改變磁偶極矩的方向 。電偶極矩的存在破壞了這些對(duì)稱(chēng)性。假定CPT對(duì)稱(chēng)性正確無(wú)誤，則時(shí)間破壞也促使CP對(duì)稱(chēng)性被破壞。

標(biāo)準(zhǔn)模型的預(yù)測(cè)

按照前面論述，為了營(yíng)造有限值電偶極矩，必需先存在有破壞CP對(duì)稱(chēng)性的理論程序。實(shí)驗(yàn)者已經(jīng)在弱相互作用的實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到CP破壞，也已經(jīng)能夠用標(biāo)準(zhǔn)模型的卡比博-小林-益川矩陣中的CP破壞相位來(lái)解釋CP破壞。但是，這解釋所獲得的CP破壞數(shù)值非常微小，因此對(duì)于電偶極矩的貢獻(xiàn)也微乎其微： | p n | ～ ～ --> 10 ? ? --> 32   e   c m {\displaystyle |p_{n}|\sim 10^{-32}\ e\ \mathrm {cm} } 。遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于現(xiàn)在最精密實(shí)驗(yàn)所能測(cè)量到的數(shù)值。電偶極矩實(shí)驗(yàn)可以用來(lái)核對(duì)很多從標(biāo)準(zhǔn)模型延伸的嶄新理論，例如如最小超對(duì)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)模型（ minimal supersymmetric standard model ）、左右對(duì)稱(chēng)模型（ left-right symmetric model ）等等。這些理論估計(jì)的電偶極矩?cái)?shù)值在可核對(duì)值域內(nèi)。

參見(jiàn)

偶極子

磁偶極矩

鍵偶極矩

中子電偶極矩

電子電偶極矩（ electron electric dipole moment ）

軸多極矩（ axial multipole moments ）

圓柱多極矩（ cylindrical multipole moments ）

球多極矩（ spherical multipole moments ）

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