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性質(zhì)

特殊酉群 SU(n) 是一個 n-1 維實(shí)矩陣?yán)钊?。在拓?fù)渖鲜蔷o及單連通的。在代數(shù)上，它是一個單李群（意為它的李代數(shù)是單的，見下）。SU(n) 的中心同構(gòu)于循環(huán)群Zn。當(dāng) n ≥ 3，它的外自同構(gòu)群是 Z2，而 SU(2) 的外自同構(gòu)群是平凡群。

SU(n) 代數(shù)由 n 個算子生成，滿換關(guān)系（對 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

另外，算子

滿足

這意味著 SU(n) 獨(dú)立的生成元個數(shù)是 n-1。

生成元

一般地，SU(n) 的無窮小生成元 T，由一個無跡埃爾米特矩陣表示。即

以及

基本表示

在定義或基本表示中，由 n×n 矩陣表示的生成元是：

從而

我們也有

作為一個正規(guī)化約定。

伴隨表示

在伴隨表示中，生成元表示由 ( n 2 ? ? --> 1 ) × × --> ( n 2 ? ? --> 1 ) {\displaystyle (n^{2}-1)\times (n^{2}-1)} 矩陣表示，其元素由結(jié)構(gòu)常數(shù)定義：

SU(2)

SU 2 ? ? --> ( C ) {\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )} 一個一般矩陣元素形如

這里 α α --> , β β --> ∈ ∈ --> C {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } 使得 | α α --> | 2 + | β β --> | 2 = 1 {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1} 。我們考慮如下映射 φ φ --> : C 2 → → --> M ? ? --> ( 2 , C ) {\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{2}\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} ，（這里 M ? ? --> ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 表示 2×2 復(fù)矩陣集合），定義為

考慮到 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 微分同胚于 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 和 M ? ? --> ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 同胚于 R 8 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}} ，我們可看到 φ φ --> {\displaystyle \varphi } 是一個實(shí)線性單射，從而是一個嵌入?，F(xiàn)在考慮 φ φ --> {\displaystyle \varphi } 限制在三維球面上，記作 S 3 {\displaystyle S^{3}} ，我們可發(fā)現(xiàn)這是三維球面到 M ? ? --> ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有 φ φ --> ( S 3 ) = SU 2 ? ? --> ( C ) {\displaystyle \varphi (S^{3})=\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )} ，作為一個流形微分同胚于 SU 2 ? ? --> ( C ) {\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )} ，使 SU 2 ? ? --> ( C ) {\displaystyle \operatorname {SU} _{2}李群mathbb {C} )} 成為一個緊連通李群。

現(xiàn)在考慮李代數(shù) s u 2 ( C ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}(\mathbb {C} )} ，一個一般元素形如

這里 x ∈ ∈ --> R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 以及 β β --> ∈ ∈ --> C {\displaystyle \beta \in \mathbb {C} } 。易驗證這樣形式的矩陣的跡是零并為反埃爾米特的。從而李代數(shù)由如下矩陣生成

易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關(guān)系 u 3 u 2 = ? ? --> u 2 u 3 = u 1 {\displaystyle u_{3}u_{2}=-u_{2}u_{3}=u_{1}} 和 u 2 u 1 = ? ? --> u 1 u 2 = u 3 {\displaystyle u_{2}u_{1}=-u_{1}u_{2}=u_{3}} 。從而交換子括號由

確定。上述生成元與泡利矩陣有關(guān)， u 1 = i σ σ --> 1 {\displaystyle u_{1}=i\sigma _{1}} , u 2 = ? ? --> i σ σ --> 2 {\displaystyle u_{2}=-i\sigma _{2}} 及 u 3 = i σ σ --> 3 {\displaystyle u_{3}=i\sigma _{3}} 。

SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定義表示中為

這里 λ λ --> {\displaystyle \lambda \,} 為蓋爾曼矩陣，是 SU(2) 泡利矩陣在 SU(3) 之類比：

注意它們都是無跡埃爾米特矩陣。

它們服從關(guān)系

d 的取值：

李代數(shù)

S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} 對應(yīng)的李代數(shù)記作 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} 。它的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表示由無跡反埃爾米特 n × × --> n {\displaystyle n\times n} 復(fù)矩陣組成，以通常交換子為李括號物理學(xué)物理學(xué)家通常增加一個因子 i {\displaystyle i} ，從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實(shí)李代數(shù)一個不同的更方便的表示。注意 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} 是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上一個李代數(shù)。

例如，下列量子力學(xué)中使用的矩陣組成 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的一組基：

（這里 i {\displaystyle i} 是虛數(shù)單位。）

這個表示經(jīng)常用于量子力學(xué)（參見泡利矩陣以及蓋爾曼矩陣）表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們?nèi)S空間量子相對論描述中的單位向量。

注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元，以及生成元反交換。與單位矩陣（乘以 i {\displaystyle i} ）一起

它們也是 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 的生成元。

當(dāng)然這里它取決于我們最終處理的問題，比如在非相對論量子力學(xué)中為 2-旋量；或在相對論狄拉克理論中，我們需要到 4-旋量的一個擴(kuò)張；或在數(shù)學(xué)中甚至是克利福德代數(shù)。

注：在矩陣乘法下（在此情形是反交換的），生成克利福德代數(shù) C l 3 {\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}} ，而在交換子括號下生成李代數(shù) s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 。

回到一般的 S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} ：

如果我們選擇（任意）一個特定的基，則純虛數(shù)無跡對角 n × × --> n {\displaystyle n\times n} 矩陣子空間組成一個 n ? ? --> 1 {\displaystyle n-1} 維嘉當(dāng)子代數(shù)。

將這個李代數(shù)復(fù)化，從而現(xiàn)在允許任何無跡 n × × --> n {\displaystyle n\times n} 矩陣。權(quán)本征向量是嘉當(dāng)子代數(shù)自己，只有一個非零元素的矩陣不是對角的。盡管嘉當(dāng)子代數(shù) h {\displaystyle \mathrm {h} } 只是 n ? ? --> 1 {\displaystyle n-1} 維，但為了化簡計算，經(jīng)常引入一個輔助元素，與所有元素交換的單位矩陣（它不能視為這個李代數(shù)的一個元素）。故我們有一個基，其中第 i {\displaystyle i} 個基向量是在第 i {\displaystyle i} 個對角元素為 1 {\displaystyle 1} 而在其它處為零的矩陣。則權(quán)由 n {\displaystyle n} 個坐標(biāo)給出，而且在所有 n {\displaystyle n} 個坐標(biāo)求和為零（因為單位矩陣只是輔助的）。

故 S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} 的秩是 n ? ? --> 1 {\displaystyle n-1} ，它的鄧肯圖由 A n ? ? --> 1 {\displaystyle A_{n-1}} 給出，有 n ? ? --> 1 {\displaystyle n-1} 個頂點(diǎn)的鏈。

它的根系由 n ( n ? ? --> 1 ) {\displaystyle n(n-1)} 個根組成，生成一個 n ? ? --> 1 {\displaystyle n-1} 歐幾里得空間。這里，我們使用 n {\displaystyle n} 冗余坐標(biāo)而不是 n ? ? --> 1 {\displaystyle n-1} 對稱標(biāo)來強(qiáng)調(diào)根系的對稱（ n {\displaystyle n} 坐標(biāo)之和為零）。換句話說，我們是將這個 n ? ? --> 1 {\displaystyle n-1} 維向量空間嵌入 n {\displaystyle n} -維中。則根由所有 n ( n ? ? --> 1 ) {\displaystyle n(n-1)} 置換 ( 1 , ? ? --> 1 , 0 , … … --> , 0 ) {\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)} 。兩段以前的構(gòu)造解釋了為什么。單根的一個選取為

它的嘉當(dāng)矩陣是

它的外爾群或考克斯特群是對稱群 S n {\displaystyle S_{n}} ， ( n ? ? --> 1 ) {\displaystyle (n-1)} -單形的對稱群。

廣義特殊酉群

對一個域 F，F(xiàn) 上廣義特殊酉群 SU(p,q;F)，F(xiàn) 上一個秩為 n=p+q 的向量空間上使得一個符號為 (p,q) 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1線性變換組成的群。這個酉群經(jīng)常稱為 F 上符號為 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以換為一個交換環(huán)，在這種情形向量空間換為自由模。

特別地，固定 GL(n,R) 中一個符號為 (p,q) 的埃爾米特矩陣，則所有

滿足

經(jīng)?？梢砸姷接浱?S U p , q {\displaystyle SU_{p,q}} 略去環(huán)或域，在這種形式環(huán)或域是指 C，這給出一個典型李群。當(dāng) F=C 時，A 的標(biāo)準(zhǔn)選取是

對某些維數(shù) A 可能有更好的選擇，當(dāng)限制為 C 的一個子環(huán)時有更好表現(xiàn)。

例子

這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度復(fù)雙曲空間上，同樣地 SL(2,Z) （射影地）作用在二維實(shí)雙曲空間上。2003年，Gábor Francsics 與彼得·拉克斯算出了這個群在 H C 2 {\displaystyle HC^{2}} 上作用的基本域，參見[1]。

另一個例子是 SU(1,1;C)，同構(gòu)于 SL(2,R)。

重要子群

在物理學(xué)中，特殊酉群用于表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊酉群的子群很重要。在大一統(tǒng)理論中 SU(n) 重要的子群是，對 p>1，n-p>1：

為了完整性，還有正交與辛子群：

因為 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一個有用的檢驗是看子群的秩是小于還是等于原來群的秩。SU(n) 是多個其它李群的子群：

有同構(gòu) SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆疊群，這個關(guān)系在非相對論量子力學(xué)2-旋量的旋轉(zhuǎn)中起著重要的作用。

相關(guān)條目

SU(2)的表示論

射影特殊酉群 PSU(n)

參考文獻(xiàn)

Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 

Maximal Subgroups of Compact Lie Groups

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