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性質(zhì)

因?yàn)橛暇仃嚨男辛惺绞悄ｉL1復(fù)數(shù)，行列式給出了一個(gè)群同態(tài)

這個(gè)同態(tài)的核是行列式為單位的酉矩陣集合，這個(gè)子群稱為特殊酉群，記作SU(n)。我們有李群的短正合列：

這個(gè)短正合列分裂，故U(n)可以寫成SU(n)與U(1)的半直積。這里U(1)是U(n)中由 diag ( e i θ θ --> {\displaystyle {\mbox{diag}}(e^{i\theta }} ,1,1,...,1)形式的矩陣組成的子群。

酉群U(n)對(duì)n > 1是非交換的。U(中心的中心是數(shù)量矩陣λI，這里λ ∈ U(1)。這引理爾引理得來。這樣中心同構(gòu)于U(1)。因?yàn)閁(n)的中心是一個(gè)1維阿貝爾正規(guī)子群，酉群不是半單的。

拓?fù)?/span>

酉群U(n)作為Mn(C)的子集賦予相對(duì)拓?fù)?，Mn(C)是所有n×n復(fù)矩陣集合，本身同構(gòu)于2n維歐幾里得空間。

作為一個(gè)拓?fù)淇臻g，U(n)是緊連通空間。因?yàn)閁(n)是Mn(C)的一個(gè)有界閉子集，然后海涅-博雷爾定理可知緊性。欲證U(n)是連通的，回憶到任何酉矩陣A能被另一個(gè)酉矩陣S對(duì)角化。任何對(duì)角酉矩陣的對(duì)角線上都是絕對(duì)值為1的復(fù)數(shù)。從而我們可以寫成

U(n)中從單位到A的一條道路由

給出。

酉群不是單連通的；對(duì)所有n，U(n)的基本群是無限循環(huán)群

第一個(gè)酉群U(1)是一個(gè)拓?fù)鋱A周，熟知其有同構(gòu)于Z的基本群，包含映射 U ( n ) → → --> U ( n + 1 ) {\displaystyle U(n)\to U(n+1)} 在 π π --> 1 {\displaystyle \pi _{1}} 上是同構(gòu)（其商是斯蒂弗爾流形）。

行列式映射 d e t : : --> U ( n ) → → --> U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {det} \colon \mathrm {U} (n)\to \mathrm {U} (1)} 誘導(dǎo)了基本群的同構(gòu)，分裂映射 U ( 1 ) → → --> U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (1)\to \mathrm {U} (n)} 誘導(dǎo)其逆。

相關(guān)的群

三選二性質(zhì)

酉群是正交群、辛群與復(fù)數(shù)群的3重交集：

從而一個(gè)酉結(jié)構(gòu)可以視為一個(gè)正交結(jié)構(gòu)、復(fù)結(jié)構(gòu)與辛結(jié)構(gòu)，他們要求是“一致的”（意思是說：復(fù)結(jié)構(gòu)與辛形式使用同樣的J，且J是正交的；取定一個(gè)J將所有群寫成矩陣群便確保了一致性）。

事實(shí)上，它是這三個(gè)中任何兩個(gè)的交集；從而一個(gè)一致的正交與復(fù)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了一個(gè)辛結(jié)構(gòu)，如此等等。

在方程的層次上，這可以由下面看出

任何兩個(gè)方程蘊(yùn)含第三個(gè)。

在形式的層次上，這可從埃爾米特形式分解為實(shí)部與虛部看出： 實(shí)部是對(duì)稱的（或正交），虛部是斜正交（辛）——他們由復(fù)結(jié)構(gòu)聯(lián)系（這便是一致性）。在一個(gè)殆凱勒流形上，可以將這個(gè)分解寫成 h = g + i ω ω --> {\displaystyle h=g+i\omega } ，這里h是埃爾米特形式，g是黎曼度量，i是殆復(fù)結(jié)構(gòu)，而 ω ω --> {\displaystyle \omega } 是殆辛結(jié)構(gòu)。

從李群的觀點(diǎn)來看，這可部分地解釋如下： O ( 2 n ) {\displaystyle O(2n)} 是 G L ( 2 n , R ) {\displaystyle GL(2n,\mathbf {R} )} 的極大緊子群，而 U ( n ) {\displaystyle U(n)} 是 G L ( n , C ) {\displaystyle GL(n,\mathbf {C} )} 與 S p ( 2 n ) {\displaystyle Sp(2n)} 的極大緊子群。從而交集 O ( 2 n ) ∩ ∩ --> G L ( n , C ) {\displaystyle O(2n)\cap GL(n,\mathbf {C} )} 或 O ( 2 n ) ∩ ∩ --> S p ( 2 n ) {\displaystyle O(2n)\cap Sp(2n)} 是這些群的極大緊子群，即 U ( n ) {\displaystyle U(n)} 。從這個(gè)觀點(diǎn)來看，意料之外的是交集 G L ( n , C ) ∩ ∩ --> S p ( 2 n ) = U ( n ) {\displaystyle GL(n,\mathbf {C} )\cap Sp(2n)=U(n)} 。

特殊酉群與射影酉群

就像正交群有子群特殊正交群與商群射影正交群PO(n)，以及子商群射影特殊正交群；酉群也有關(guān)聯(lián)的特殊酉群SU(n)，射影酉群PU(n)，以及射影特殊酉群PSU(n)。他們的關(guān)系如左所示的交換圖表；特別地，兩個(gè)射影群相等： PSU ? ? --> ( n ) = PU ? ? --> ( n ) {\displaystyle \operatorname {PSU} (n)=\operatorname {PU} (n)} 。

上面對(duì)經(jīng)典酉群成立（復(fù)數(shù)上），對(duì)有限域，可以類似地得到特殊酉群與射影酉群，但是一般地 PSU ? ? --> ( n , q 2 ) ≠ ≠ --> PU ? ? --> ( n , q 2 ) {\displaystyle \operatorname {PSU} (n,q^{2})\neq \operatorname {PU} (n,q^{2})} 。

G-結(jié)構(gòu)：殆埃米爾特

用G-結(jié)構(gòu)的語言來說，一個(gè)具有 U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} -結(jié)構(gòu)的流形是一個(gè)殆埃米爾特流形。

推廣

從李群的觀點(diǎn)來看，典型酉群是斯坦伯格群 2 A n {\displaystyle {}^{2}\!A_{n}} 的實(shí)形式，后者是由一般線性群的“圖表自同構(gòu)”（翻轉(zhuǎn)Dynkin diagram A n {\displaystyle A_{n}} ，對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)置逆）與擴(kuò)張 C / R {\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {R} } 的域同構(gòu)（即復(fù)共軛）的復(fù)合得到的代數(shù)群。兩個(gè)自同構(gòu)都是代數(shù)群的自同構(gòu)，階數(shù)為2，可交換，酉群作為代數(shù)群是乘積自同構(gòu)的不動(dòng)點(diǎn)。典型酉群是這個(gè)群的實(shí)形式，對(duì)應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)埃爾米特形式 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } ，它是正定的。

這可從幾個(gè)方面推廣：

推廣到其它埃爾米特形式得到了不定酉群 U ? ? --> ( p , q ) {\displaystyle \operatorname {U} (p,q)} ；

域擴(kuò)張可用任何2階可分代數(shù)取代，最特別地是一個(gè)2階有限域擴(kuò)張；

推廣到其它圖表得出李型群，即其它斯坦伯格群 2 D n , 2 E 6 , 3 D 4 , {\displaystyle {}^{2}\!D_{n},{}^{2}\!E_{6},{}^{3}\!D_{4},} （以及 2 A n {\displaystyle {}^{2}\!A_{n}} ）Suzuki-Ree群 2 B 2 ( 2 2 n + 1 ) , 2 F 4 ( 2 2 n + 1 ) , 2 G 2 ( 3 2 n + 1 ) {\displaystyle {}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right)} ；

考慮一個(gè)推廣的酉群作為代數(shù)群，可取它的點(diǎn)在不同的代數(shù)上。

不定形式

類似于不定正交群，給定一個(gè)不必正定（但一般取為非退化）的埃爾米特形式，考慮保持這個(gè)形式的變換，我們可以定義不定酉群。這里我們?cè)趶?fù)向量空間上考慮問題。

給定復(fù)向量空間 V {\displaystyle V} 上的一個(gè)埃爾米特形式 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } ，酉群 U ( Ψ Ψ --> ) {\displaystyle U(\Psi )} 是保持這個(gè)形式的變換群：變換 M {\displaystyle M} 使得 Ψ Ψ --> ( M v , M w ) = Ψ Ψ --> ( v , w ) {\displaystyle \Psi (Mv,Mw)=\Psi (v,w)} ，對(duì)所有 v , w ∈ ∈ --> V {\displaystyle v,w\in V} 。寫成矩陣，設(shè)這個(gè)形式用矩陣 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 表示，這便是說 M ? ? --> Φ Φ --> M = Φ Φ --> {\displaystyle M^{*}\Phi M=\Phi } 。

就像實(shí)數(shù)上的對(duì)稱形式，埃爾米特形式由符號(hào)確定，所有都是酉合同于對(duì)角線上 p {\displaystyle p} 個(gè)元素為1， q {\displaystyle q} 個(gè) ? ? --> 1 {\displaystyle -1} 的對(duì)角矩陣。非退化假設(shè)等價(jià)于 p + q = n {\displaystyle p+q=n} 。在一組標(biāo)準(zhǔn)基下，這代表二次形式：

作為對(duì)稱形式是：

得出的群記為 U ( p , q ) {\displaystyle U(p,q)} 。

有限群

在 q = p r {\displaystyle q=p^{r}} 個(gè)元素的有限域 F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} 上，有一個(gè)惟一的2階擴(kuò)張域 F q 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}} ，帶有2階自同構(gòu) α α --> : : --> x ? ? --> x q {\displaystyle \alpha \colon x\mapsto x^{q}} （弗羅貝尼烏斯自同構(gòu)的 r {\displaystyle r} 次冪）。這使得我們可以定義 F q 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}} 上一個(gè)向量空間 V {\displaystyle V} 上的埃爾米特形式，是一個(gè) F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q}} -雙線性映射 Ψ Ψ --> : : --> V × × --> V → → --> K {\displaystyle \Psi \colon V\times V\to K} 使得 Ψ Ψ --> ( w , v ) = α α --> ( Ψ Ψ --> ( v , w ) ) {\displaystyle \Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)} 以及 Ψ Ψ --> ( w , c v ) = c Ψ Ψ --> ( w , v ) {\displaystyle \Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)} 對(duì) c ∈ ∈ --> F q 2 {\displaystyle c\in \mathbf {F} _{q^{2}}} 。另外，有限域上向量空間的所有非退化埃爾米特形式都酉合同與用恒同矩陣表示的標(biāo)準(zhǔn)形式。這便是說，任何埃爾米特形式酉等價(jià)于

這里 w i , v i {\displaystyle w_{i},v_{i}} 表示 w , v ∈ ∈ --> V {\displaystyle w,v\in V} 在 n {\displaystyle n} -維空間 V {\displaystyle V} 的某個(gè)特定 F q 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}} -基下的坐標(biāo)（Grove 2002，Thm. 10.3）。

從而我們對(duì)擴(kuò)張 F q 2 / F q {\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}}/\mathbf {F} _{q}} 可以定義一個(gè)（惟一的） n {\displaystyle n} 維酉群，記作 U ( n , q ) {\displaystyle U(n,q)} 或 U ( n , q 2 ) {\displaystyle U\left(n,q^{2}\right)} （取決于作者的習(xí)慣）。酉群中矩陣的行列式為1的子群稱為特殊酉群，記作 S U ( n , q ) {\displaystyle SU(n,q)} 或 S U ( n , q 2 ) {\displaystyle SU(n,q^{2})} 。為方便起見，本文使用 U ( n , q 2 ) {\displaystyle U(n,q^{2})} 寫法。 U ( n , q 2 ) {\displaystyle U(n,q^{2})} 的中心的階數(shù)為 q + 1 {\displaystyle q+1} 由為酉數(shù)量矩陣組成，這便是所有矩陣 c I V {\displaystyle cI_{V}} ，這里 c q + 1 = 1 {\displaystyle c^{q+1}=1} 。特殊酉群的中心的階數(shù)為 gcd ( n , q + 1 ) {\displaystyle \gcd(n,q+1)} ，由那些階數(shù)整除 n {\displaystyle n} 的酉數(shù)量矩陣組成。酉群除以中心的商稱為射影酉群， P U ( n , q 2 ) {\displaystyle PU(n,q^{2})} ，特殊酉群除以中心是射影特殊酉群 P S U ( n , q 2 ) {\displaystyle PSU(n,q^{2})} 。在大多數(shù)情形（ n ≥ ≥ --> 2 {\displaystyle n\geq 2} 與 ( n , q 2 ) ? ? --> { ( 2 , 2 2 ) , ( 2 , 3 2 ) , ( 3 , 2 2 ) } {\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}} ）， S U ( n , q 2 ) {\displaystyle SU(n,q^{2})} 是完全群而 P S U ( n , q 2 ) {\displaystyle PSU(n,q^{2}單群 是有限單群（Grove 2002，Thm. 11.22 and 11.26）。

2階可分代數(shù)

更一般地，給定一個(gè)域 k {\displaystyle k} 與一個(gè)2階可分 k {\displaystyle k} -代數(shù) K {\displaystyle K} （可能是一個(gè)域擴(kuò)張但也未必），我們可以定義關(guān)于這個(gè)擴(kuò)張的酉群。

首先，存在 K {\displaystyle K} 的惟一 k {\displaystyle k} -自同構(gòu) a ? ? --> a ˉ ˉ --> {\displaystyle a\mapsto {\bar {a}}} 是一個(gè)對(duì)合且恰好不動(dòng)元為 k {\displaystyle k} （ a = a ˉ ˉ --> {\displaystyle a={\bar {a}}} 當(dāng)且僅當(dāng) a ∈ ∈ --> k {\displaystyle a\in k} )。這是復(fù)共軛與2階有限域擴(kuò)張共軛的推廣，從而我們可以在它上面的定義埃爾米特形式與酉群。

代數(shù)群

定義酉群的方程是一些 k {\displaystyle k} 上的多項(xiàng)式方程（但不是在 k {\displaystyle k} 上）：對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式 Φ Φ --> = I {\displaystyle \Phi =I} ，這些方程由矩陣 A ? ? --> A = I {\displaystyle A^{*}A=I} 給出，這里 A ? ? --> = A ˉ ˉ --> t {\displaystyle A^{*}={\overline {A}}^{t}} 是共軛轉(zhuǎn)置。給定另外一個(gè)形式，它們是 A ? ? --> Φ Φ --> A = Φ Φ --> {\displaystyle A^{*}\Phi A=\Phi } 。從而酉群一個(gè)代數(shù)群，它在一個(gè) k {\displaystyle k} -代數(shù) R {\displaystyle R} 上的點(diǎn)由

給出。

對(duì)域擴(kuò)張 C / R {\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {R} } 與標(biāo)準(zhǔn)（正定）埃爾米特形式，這得出了具有實(shí)點(diǎn)與復(fù)點(diǎn)的代數(shù)群：

分類空間

關(guān)于U(n)的分類空間在條目U(n)的分類空間中描述。

參考文獻(xiàn)

Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.:美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì), 2002, ISBN 978-0-8218-2019-3,MR1859189 

另見

特殊酉群

射影酉群

正交群

辛群

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