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概論

將五維時空分開成四維的愛因斯坦方程以及麥克斯韋方程組是首先由 古納爾·諾德斯特諾姆 （ 英語 ： Gunnar Nordstr?m ） （Gunnar Nordstr?m）于1914年所發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)在他的引力理論內(nèi)文中，但隨后就被世人遺忘。在1926年，奧斯卡·克萊因（Oskar Klein）提議了第四個空間維度卷曲成一個半徑非常小的圓，所以粒子沿著這個軸移動很短的距離，就會回到起始點。粒子在回到起始點前所能行進的距離則稱作是該維度的大小。這個 額外維度 （extra dimension）是一個緊集，而時空具有緊致維度的現(xiàn)象則稱作是緊化。

第五維度卷曲成圓，構成了最早的高維宇宙模型。此模型僅多出現(xiàn)了一個額外維度。

現(xiàn)代幾何學中，額外的第五維度可以被理解為圓群U(1) ，而基本上，電磁學可以用在纖維叢上規(guī)范群 U （1）的規(guī)范場論來詮釋。一旦這樣的幾何詮釋能被理解，則將 U （1）換成廣義的李群就顯得容易而直觀。這樣的推廣常稱作是楊-米爾斯理論。若要提到兩者的差異，則可說楊–米爾斯理論是在平坦時空的場合處理，而卡魯扎-克萊因理論則是在更具一般性的彎曲時空中處理?？斣?克萊因理論的底空間不一定是四維時空，而可以是任何的（偽）黎曼流形，或者甚至是超對稱流形、軌形或非交換空間。

時間-空間-物質(zhì)理論

卡魯扎-克萊因理論的一個特別的變形是所謂的 時間-空間-物質(zhì)理論 （ space-time-matter theory ）或稱 引生物質(zhì)理論 （ induced matter theory ），主要是由Paul Wesson及其他人所推廣，他們組成所謂的Space-Time-Matter Consortium。在這理論版本中，值得注意的是下面方程所得的解：

其中 R A B {\displaystyle R_{AB}} 是五維里奇曲率，也可以在四維中重新表述，這樣的解滿足愛因斯坦方程：

其中 T μ μ --> ν ν --> {\displaystyle T_{\mu \nu }} 的精準形式來自于五維空間中的里奇平坦條件（Ricci-flat condition）。既然能量-動量張量 T μ μ --> ν ν --> {\displaystyle T_{\mu \nu }} 常被了解為四維空間中的物質(zhì)密度，上面的結果則被詮釋成：四維物質(zhì)是引生自五維空間中的幾何。

特別是 R A B = 0 {\displaystyle R_{AB}=0} 的孤立子（soliton）解可被展示：其包含了輻射主導形式（早期宇宙）與物質(zhì)主導形式（晚期宇宙）中的羅伯遜-沃爾克度規(guī)（Robertson-Walker metric）。一般方程則可被展示與經(jīng)典范疇的引力理論測試相符，在物理學原則上可以被接受，而其仍留有相當多的自由度可提供一些有趣的宇宙學模型。

幾何詮釋

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