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定義

  正弦波可視為旋轉(zhuǎn)矢量

通過歐拉公式，我們可以將正弦信號表示為二復(fù)數(shù)函數(shù)項的和：

也可單用實部表示：

或可單用虛部表示：

更進一步，若所分析電路為線性，由于信號源只為單一固定頻率ω而不產(chǎn)生其他雜項（例如諧波），因此可以只取其復(fù)數(shù)的常數(shù)部分 A e j θ θ --> {\displaystyle Ae^{j\theta }\,} ，一般把這部分定義為相量。我們也可以用另一種更精簡的極坐標形式表示： A ∠ ∠ --> θ θ --> {\displaystyle A\angle \theta \,} 。

在電氣工程領(lǐng)域當中，相角通常是以度來定義，而非弧度；振幅大小則通常是以均方根定義，而非峰－峰值。

正弦波可以被理解成復(fù)平面上的旋轉(zhuǎn)矢量在實軸上的投影。這一矢量的模是振動的幅度，而矢量的幅角是總相位 ω ω --> t + θ θ --> {\displaystyle \omega t+\theta } 。相位常數(shù) θ θ --> {\displaystyle \theta } 代表復(fù)矢量于 t = 0 {\displaystyle t=0} 時刻與實軸的夾角。

運算法則

與常數(shù)（標量）相乘

相量 A e j θ θ --> e j ω ω --> t {\displaystyle Ae^{j\theta }e^{j\omega t}\,} 與復(fù)常數(shù) B e j ? ? --> {\displaystyle Be^{j\phi }\,} 的乘積也是一個相量，這意味著相量乘法只會改變正弦波的振幅和相位：

在電子學(xué)中， B e j ? ? --> {\displaystyle Be^{j\phi }\,} 是獨立于阻抗的阻抗，且并不是另一相量的簡短記法。 阻抗乘以相量電流可得到相量電壓。但2個相量相乘或相量乘方運算的結(jié)果表示2個正弦波的乘積，這種運算是非線性運算，會產(chǎn)生新的頻率分量。相量記法只能表示同一頻率的系統(tǒng)，例如正弦波模擬的線性系統(tǒng)。

微分和積分

一個相量的時間導(dǎo)數(shù)或積分可以產(chǎn)生另一個相量，例如：

因此在相量表示法中，正弦波的時間導(dǎo)數(shù)僅需要與常數(shù) j ω ω --> = ( e j π π --> 2 ? ? --> ω ω --> ) {\displaystyle j\omega =(e^{j{\tfrac {\pi }{2}}}\cdot \omega )\,} 相乘就能得到；同樣，對相量進行積分運算也只需要乘以常數(shù) 1 j ω ω --> = e ? ? --> j π π --> 2 ω ω --> {\displaystyle {\frac {1}{j\omega }}={\frac {e^{-j{\tfrac {\pi }{2}}}}{\omega }}\,} 就能得到；不論是微分還是積分運算，時間變量因子 e j ω ω --> t {\displaystyle e^{j\omega t}\,} 均不受影響。當利用相量法求解線性微分方程時，我們只需要將方程中全部項中的因子 e j ω ω --> t {\displaystyle e^{j\omega t}\,} 提取出來后，計算RC電路這一因子重新引入答案中，就可完成全部求解。例如，求解RC電路中電容上的電壓，可建立下列微分方程：

當電路中的電壓源是正弦變化時：

可以代換成如下方程：

其中相量 V s = V P e j θ θ --> , {\displaystyle V_{s}=V_{P}e^{j\theta },\,} ，相量 V c {\displaystyle V_{c}\,} 是需要求取的未知量。

利用相量的簡短記法，微分方程可化簡為：

解得相量電容電壓為：

如上所示，結(jié)果為一個因子與 V s {\displaystyle V_{s}\,} 的乘積，這代表了關(guān)聯(lián)于 V P {\displaystyle V_{P}\,} 和 θ θ --> {\displaystyle \theta \,} 的 v C ( t ) {\displaystyle v_{C}(t)\,} 的幅值和相位的不同之處。

用極坐標形式表示，則結(jié)果為：

因此得到電容電壓為：

加法

  相量的和是由旋轉(zhuǎn)矢量進行合成得到的

多個相量相加可以得到另一個相量，因為同頻率的正弦波相加可得到頻率相同的合成正弦波：

其中：

由復(fù)平面上的余弦定理或角的和差恒等式也可得到相同結(jié)果：

其中 Δ Δ --> θ θ --> = θ θ --> 1 ? ? --> θ θ --> 2 {\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}} 。

這種計算方法的關(guān)鍵是A3和θ3 并不取決于ω或t，因為在這種情況下才可以使用相量法。方程中的時間和頻率因子可以在計算時去掉，在相量運算完成后的結(jié)果中乘以這一因子即可。若使用極坐標表示法，運算的形式則為：

另外一個考慮問題的角度是將加法運算視為[A1 cos(ωt+θ1), A1 sin(ωt+θ1)]與[A2 cos(ωt+θ2), A2 sin(ωt+θ2)]的矢量和，最終得到矢量[A3 cos(ωt+θ3), A3 sin(ωt+θ3)]，如上圖所示。

  三波發(fā)生完全相消干涉的相量圖

在物理學(xué)中，當正弦波發(fā)生相長或相消干涉時，可被視為相量加法。若將3個大小相當?shù)氖噶渴孜蚕嘟?，得到的是一個等邊三角形，因此每2個相量間的夾角是120°（2π/3弧度），即波長的三分之一/3。因此每一波形之間的相位差必須為120°時，正弦波才能發(fā)生完全相消干涉，而這種相位條件與三相交流電是相同的。用公式可表示為：

在三個波相消干涉的情況下，第一個波和第三個波的相位相差240°，而兩個波發(fā)生相消干涉的條件是相位相差180°時。若多個波進行相消干涉，第一個相量和最后一個相量幾乎平行。這意味著對于多個波源的情況，第一個波和最后一個波發(fā)生相消干涉的條件是相位相差360°，即一個全波長 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 。因此，單縫衍射的極小值位置是光程差為全波長的位置。

相量圖

電機工程師、電子工程師、電氣工程師以及飛機工程師都使用相量圖使復(fù)常數(shù)和相量變量可視化。與矢量一樣，在圖紙或計算機中都用箭頭代表相量。相量可以用指數(shù)形式或極坐標形式表示，各有優(yōu)點。

電路定律

用相量法表示正弦交流電后，就可以將直流電路的分析方法直接用于分析交流電路，這些基本定律如下：

歐姆定律：V=IZ，其中Z是復(fù)阻抗。

在交流電路中，有功功率P表示輸入電路的平均功率，無功功率Q是使電路內(nèi)電場與磁場進行能量交換而需要的電功率，不對外做功。這樣我們可以定義復(fù)功率S=P+jQ，其幅值就是視在功率。由此，由相量表示的復(fù)功率為：S=VI，其中I是I 的共軛復(fù)數(shù)）。

基爾霍夫電路定律的復(fù)數(shù)形式也可用于相量計算中。

由以上定律，我們可以使用相量法進行阻性電路分析，可分析包含電阻、電容和電感的單一頻率交流電路。分析多頻率線性交流電路和不同波形的交流電路時，可以先將電路化為正弦波分量的組合（由疊加定理滿足），然后對每一頻率情況的正弦波進行分析，找出電壓和電流。

電力工程

在三相交流電力系統(tǒng)的分析中，通常會有一組相量被定義為3個復(fù)單位立方根，并以圖表示為角0°、120°以及240°處的單位幅值。將多相交流電路的量化為相量后，平衡電路可被化簡，而非平衡電路可被當作對稱電路的代數(shù)組合。這種方法簡化了電學(xué)計算中計算電壓降、功率流以及短路電流所需的工作。在電力系統(tǒng)分析中，相位角的單位常為度，而幅值大小則通常是以方均值而不是峰值來定義。

同步相量技術(shù)中使用數(shù)字式儀表來測量相量，先進的測量設(shè)備包括同步相量測量裝置（PMU），能直接即刻測得某節(jié)點的相量，不需要花費時間進行大量的計算。在輸電系統(tǒng)中，相量一般被廣泛地認為是表示輸電系統(tǒng)電壓。相量的微是功率流和系統(tǒng)穩(wěn)定性的靈敏指示參數(shù)。

參考文獻

Douglas C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers. Prentice Hall. 1989. ISBN 0-13-666322-2 （英語）. 

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