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導(dǎo)論

思考由一群粒子構(gòu)成的一個物理系統(tǒng)。按照牛頓運(yùn)動定律 ，

其中， F i ( T ) {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}\,\!} 是所有施加于粒子 P i {\displaystyle P_{i}\,\!} 的作用力的合力（包括約束力）。

將方程右邊的加速度項(xiàng)目移至左邊，

達(dá)朗貝爾建議將這加速度項(xiàng)目視為一種因?yàn)榱Ｗ拥倪\(yùn)動而產(chǎn)生的作用力，稱為 慣性力 ：

這樣，施加于每一個粒子的作用力（包括慣性力）的矢量和皆等于零：

采用達(dá)朗貝爾這絕頂聰明的建議，這系統(tǒng)內(nèi)所有的作用力的矢量和變?yōu)榱?，也就是說，這系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)。假若動力系統(tǒng)的動態(tài)平衡可以視為靜力系統(tǒng)的靜態(tài)平衡，則所有靜力系統(tǒng)內(nèi)有關(guān)于平衡狀態(tài)的理論都可以適用于動力系統(tǒng)，而這動力系統(tǒng)的運(yùn)動問題的一大部分也可以當(dāng)作靜力系統(tǒng)的平衡問題來解析。因此，當(dāng)然也可以將靜力學(xué)的虛功原理搬遷至動力學(xué)里。

對于每一個粒子，經(jīng)過虛位移 δ δ --> r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}\,\!} ，其矢量和所作的虛功等于零：

作用于每一個粒子的虛功的總和 δ δ --> W {\displaystyle \delta W\,\!} 等于零：

將作用于每一個粒子上的合力 F i ( T ) {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}\,\!} ，細(xì)分為外力 F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,\!} 與約束力 C i {\displaystyle \mathbf {C} _{i}} ：

假設(shè)，每一個約束力，因?yàn)樘撐灰?，所做的虛功的總和是?。則約束力的項(xiàng)目可以從方程內(nèi)移去，達(dá)朗貝爾原理成立：

現(xiàn)在，總和內(nèi)的每一個單獨(dú) F i ? ? --> m i a i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}\,\!} 很可能不等于零。

定義 有效力 F i e f f {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{eff}\,\!} 為外力加慣性力：

達(dá)朗貝爾原理又可表達(dá)為：對于任意物理系統(tǒng)，所有有效力，經(jīng)過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總合等于零，

注意到這推論里的約束力假設(shè)。在這里，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設(shè)為 反作用力的虛功假設(shè) ：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學(xué)額外設(shè)立的假設(shè)，無法從牛頓運(yùn)動定律推導(dǎo)出來 。

適用案例

在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：

剛體的約束條件是一種完整約束，以方程表達(dá)， ( r i ? ? --> r j ) 2 = L i j 2 {\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}} ；其中，剛體內(nèi)部的粒子 P i {\displaystyle P_{i}} 、 P j {\displaystyle P_{j}} 的位置分別為 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 、 r j {\displaystyle \mathbf {r} _{j}} ，它們之間的距離 L i j {\displaystyle L_{ij}} 是個常數(shù)。所以，兩個粒子的虛位移 δ δ --> r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}} 、 δ δ --> r j {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}} 之間的關(guān)系為

思考木塊移動于平滑地面上。因?yàn)槟緣K的重量，而產(chǎn)生的反作用力，是地面施加于木塊的一種約束力。注意到對于這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直于虛位移，它所作的虛功等于零?？墒?，假若木塊移動的地面是粗糙的，則會有摩擦力產(chǎn)生。由于虛位移平行于摩擦力，虛功不等于零。所以，達(dá)朗貝爾原理不適用于這狀況。但是，假設(shè)是一只輪子純滾動（ rolling ）于地面上，因?yàn)檩喿优c地面的瞬時接觸點(diǎn)是不動的，符合約束條件的虛位移等于零，所以虛功等于零，達(dá)朗貝爾原理又適用了 。

拉格朗日方程的導(dǎo)引

拉格朗日力學(xué)是對經(jīng)典力學(xué)的一種不同的表述。拉格朗日方程是拉格朗日力學(xué)的基要方程，可以用來描述物體的運(yùn)動，特別適用于理論物理的研究。拉格朗日方程的功能等價于牛頓力學(xué)中的牛頓第二定律。

從達(dá)朗貝爾原理，可以推導(dǎo)出拉格朗日方程 。設(shè)定粒子 P i {\displaystyle P_{i}\,\!} 的位置 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,\!} 為廣義坐標(biāo) q 1 , q 2 , ? ? --> , q n {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\,\!} 與時間 t {\displaystyle t\,\!} 的函數(shù)：

轉(zhuǎn)換為廣義坐標(biāo)的主要的目的，是要除去物體內(nèi)粒子位置與粒子位置之間的相依性。這問題在后面會有更詳細(xì)的說明。

虛位移可以表示為

粒子的速度 v i = v i ( q 1 , q 2 , ? ? --> , q n , q ˙ ˙ --> 1 , q ˙ ˙ --> 2 , ? ? --> , q ˙ ˙ --> n , t ) {\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {v} _{i}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n},\ t)\,\!} 是

取速度對于廣義速度的偏微分：

思考方程（1）的加速度項(xiàng)目，將方程（2）代入，

應(yīng)用乘積法則，

注意到 ? ? --> r i ? ? --> q j {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\,\!} 的參數(shù)為 q 1 , q 2 , ? ? --> , q n , t {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n},\ t\,\!} ，而速度 v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}\,\!} 的參數(shù)為 q 1 , q 2 , ? ? --> , q n , q ˙ ˙ --> 1 , q ˙ ˙ --> 2 , ? ? --> , q ˙ ˙ --> n , t {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n},\ t\,\!} ，所以，

因此，以下關(guān)系式成立：

將方程（3）與（4）代入，加速度項(xiàng)目成為

思考這個系統(tǒng)的動能 T {\displaystyle T\,\!} ，

加速度項(xiàng)目與動能的關(guān)系為

思考方程（1）的外力項(xiàng)目，將方程（2）代入，

這里， F {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!} 是廣義力：

將方程（5）與（6）代入方程（1），會得到

假設(shè)所有的廣義坐標(biāo)都相互獨(dú)立，則所有的廣義坐標(biāo)的虛位移也都相互獨(dú)立。由于這些虛位移都是任意設(shè)定的，只有滿足下述方程，才能使方程方程（7）成立：

假設(shè)這系統(tǒng)是單演系統(tǒng)，也就是說，這系統(tǒng)的廣義力與廣義位勢 V {\displaystyle V\,\!} 之間的關(guān)系式為

那么，

廣義位勢也是系統(tǒng)的勢能。注意到拉格朗日量 L {\displaystyle L\,\!} 定義為系統(tǒng)的動能減去勢能：

則可得到拉格朗日方程：

假設(shè)這系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，也就是說，這系統(tǒng)的廣義力與位勢 V {\displaystyle V\,\!} 之間的關(guān)系式為

則拉格朗日方程也成立。

達(dá)朗貝爾慣性力原理

根據(jù)對于剛體的牛頓第二定律，一個運(yùn)動中的剛體，其運(yùn)動方程為

其中， F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,\!} 是施加于剛體的外力， m {\displaystyle m\,\!} 是剛體的質(zhì)量， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是剛體質(zhì)心的加速度， M i {\displaystyle \mathbf {M} _{i}\,\!} 是每一個外力 F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,\!} 對于剛體質(zhì)心的力矩、 I {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {I}}}\,\!} 是對于剛體質(zhì)心的慣性張量， α α --> {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 是剛體的角加速度。

達(dá)朗貝爾建議將加速度項(xiàng)目 ? ? --> m a {\displaystyle -m\mathbf {a} \,\!} 視為一種因?yàn)閯傮w的運(yùn)動而產(chǎn)生的作用力，稱為 慣性力 I {\displaystyle \mathbf {I} \,\!} ，又將角加速度項(xiàng)目 ? ? --> I α α --> {\displaystyle -{\mathcal {I}}{\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 視為一種因?yàn)閯傮w的運(yùn)動而產(chǎn)生的力矩，稱為 慣性力矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,\!} ：

那么，運(yùn)動方程變?yōu)?

在工程力學(xué)里， 達(dá)朗貝爾慣性力原理 闡明：剛體的慣性力與所有作用于剛體的外力的合力等于零，剛體的慣性力矩與所有作用于剛體的力矩的合力矩等于零。 。這原理可以幫助分析正在運(yùn)動中的某連桿所感受到的作用力。

請注意，慣性力必須作用于質(zhì)心；而慣性力矩是力偶矩，可以作用于物體的任何一位置?？恐_(dá)朗貝爾慣性力原理，動力系統(tǒng)可以變?yōu)橄耢o力系統(tǒng)一樣的解析。這方法的優(yōu)點(diǎn)是，在等價的靜力系統(tǒng)里，可以選擇任何一點(diǎn)（不只是質(zhì)心）來計算力矩。這時常會導(dǎo)至較簡易的運(yùn)算。因?yàn)?，如果選擇出正確的力矩作用點(diǎn)，在計算力矩時，可以忽略許多作用力（這些作用力與選擇點(diǎn)同直線）。

剛體二維平面運(yùn)動實(shí)例

假設(shè)施加作用力或力矩于一個平面剛體，則此剛體會在xy-平面上呈平移運(yùn)動或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，其慣性力 I {\displaystyle \mathbf {I} \,\!} 與慣性力矩 M {\displaystyle \mathbf {M} \,\!} 的方程分別為

假設(shè)，除了作用于剛體的外力以外，將慣性力視為作用力，將慣性力矩視為力矩，這系統(tǒng)就等價于靜力系統(tǒng)。因此，靜力平衡方程成立：

這方法的優(yōu)點(diǎn)是， ∑ ∑ --> i M i {\displaystyle \sum _{i}M_{i}\,\!} 乃是對于任意點(diǎn)的力矩的總合；而直接應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律的方法有一個額外的要求：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動方程只能選擇在質(zhì)心計算。

參考文獻(xiàn)

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