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歷史

狄利克雷問題以勒熱納·狄利克雷命名，他利用變分方法提出了一個解決辦法，這便是狄利克雷原理。唯一解的存在性由物理分析似乎很有理：邊界上任何電荷分布，由靜電學(xué)定律，將確定一個電勢做為一個解。

但魏爾斯特拉斯發(fā)現(xiàn)了狄利克雷證明的一個漏洞，存在性嚴(yán)格的證明直到1900才由希爾伯特給出。結(jié)論是解的存在性微妙地依賴于邊界與預(yù)定值的光滑性。

一般解

對具有足夠光滑邊界? ? -->D{\displaystyle \partial D}一個區(qū)域D{\displaystyle D}，狄利克雷問題的一般解由

給出，這里G(x,y){\displaystyle G(x,y)}是這個偏微分方程的格林函數(shù)，而

是格林函數(shù)沿著內(nèi)單位法向n^ ^ -->{\displaystyle {\widehat {n}}}的導(dǎo)數(shù)。在邊測度對測度ds{\displaystyle ds}進(jìn)行積分。函數(shù)ν ν -->(s){\displaystyle \nu (s)}由第二類弗里德霍姆積分方程（英語：Fredholm integral equation）的惟一解給出

上一個積分中的格林函數(shù)在邊界上為零：

這樣的格林函數(shù)通常是自由域格林函數(shù)與一個微分方程的調(diào)和解之和。

存在性

調(diào)和函數(shù)的狄利克雷問題總有解，當(dāng)邊界足夠光滑且f(s){\displaystyle f(s)}連續(xù)則解是惟一的。更準(zhǔn)確地說，當(dāng)

時有解。這里C(1,α α -->){\displaystyle C^{(1,\alpha )}}表示赫爾德條件。

例子：二維單位圓盤

在一些簡單情形狄利克雷問題可以明確地解出來。例如對R中單位圓盤的狄利克雷問題的解由泊松積分公式給出。

如果f{\displaystyle f}是單位圓盤D{\displaystyle D}的邊界? ? -->D{\displaystyle \partial D}連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)，則狄利克雷問題的解u(z){\displaystyle u(z)}由積分給出：

解u{\displaystyle u}在閉單位圓盤Dˉ ˉ -->{\displaystyle {\bar {D}}}上連續(xù)在D{\displaystyle D}內(nèi)調(diào)和。

被積函數(shù)稱為泊松核；這個解由二維格林函數(shù)導(dǎo)出：

這里γ γ -->(z,x){\displaystyle \gamma (z,x)}調(diào)和

并使得對x∈ ∈ -->? ? -->D{\displaystyle x\in \partial D}有G(z,x)=0{\displaystyle G(z,x)=0}。

推廣

狄利克雷問題是典型的橢圓型微分方程、位勢論和拉普拉斯方程。其他例子包括雙調(diào)和方程（英語：Biharmonic equation）以及彈性理論中相關(guān)方程。

狄利克雷問題是在邊界上給出信息的偏微分方程問題中一類，其他類型包括諾伊曼問題和柯西問題。

參考文獻(xiàn)

A. Yanushauskas,Dirichlet problem, (編) Hazewinkel, Michiel,數(shù)學(xué)百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkh?user, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.

S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.

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