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零點(diǎn)

若 χ χ -->{\displaystyle \chi } 是原特征，χ χ -->(? ? -->1)=1{\displaystyle \chi (-1)=1}，則 L(s,χ χ -->){\displaystyle L(s,\chi )} 在 Re(s)<0{\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0} 的零點(diǎn)是負(fù)偶數(shù)。

若 χ χ -->{\displaystyle \chi } 是原特征，χ χ -->(? ? -->1)=? ? -->1{\displaystyle \chi (-1)=-1}，則 L(s,χ χ -->){\displaystyle L(s,\chi )} 在 Re(s)<0{\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0} 的零點(diǎn)是負(fù)奇數(shù)。

不論可能的西格爾零點(diǎn)，狄利克雷L函數(shù)有與黎曼ζ函數(shù)相似的無零點(diǎn)區(qū)域，包括 {s:Re(s)≥ ≥ -->1}{\displaystyle \{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}}。一如黎曼ζ函數(shù)，狄利克雷L函數(shù)也有相應(yīng)的廣義黎曼猜想。

函數(shù)方程

假設(shè) χ χ -->{\displaystyle \chi } 是模 k{\displaystyle k} 的原特征。定義

此處 Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma } 表Γ函數(shù)，而符號 a{\displaystyle a} 由下式給出

則有函數(shù)方程

此處的 τ τ -->(χ χ -->){\displaystyle \tau (\ch高斯)} 表高斯和

我們亦有 |τ τ -->(χ χ -->)|=k12{\displaystyle |\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}}。

文獻(xiàn)

H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer. 2000. ISBN 0-387-95097-4. 

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