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一元二次方程

表達式

一元二次方程是指只含有一個未知數(shù)的二次方程，它的基本表達式為： a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 其中 ( a ≠ ≠ --> 0 ) {\displaystyle (a\neq 0)} 。 a {\displaystyle a\,} 為方程的系數(shù)項系數(shù)， b {\displaystyle b\,} 為一次項系數(shù)， c {\displaystyle c\,}常數(shù)為常數(shù)。若 a = 0 {\displaystyle a=0\,} ，則該方程沒有二次項，即變?yōu)橐淮畏匠獭?

判別式

■ ? 2 x + ? 2 x ? ? 3 ■ ? ? 3 x + ? 3 x ? ? 3 ■ x + ? 2

Δ Δ --> = b 2 ? ? --> 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}

方程的根和判別式的關系

若 Δ Δ --> > 0 {\displaystyle \Delta >0\,} ，該實數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根： x 1 , 2 = ? ? --> b ± ± --> b 2 ? ? --> 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

若 Δ Δ --> = 0 {\displaystyle \Delta =0\,} ，該方程有兩個相等的實數(shù)根： x 1 , 2 = ? ? --> b 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b}{2a}}}

若 Δ Δ --> < 0 {\displaystyle \Delta <0\,} ，該方程有一對共軛復數(shù)根

根與系數(shù)的關系

更多資料：韋達定理

設 x 1 {\displaystyle x_{1}\,} ， x 2 {\displaystyle x_{2}\,} 是一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 的兩根，那么

(兩根之和) x 1 + x 2 = ? ? --> b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {a}}} ，(兩根之積) x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}

一元二次方程

二元二次方程

高元二次方程

求根公式的由來

中亞細亞的花拉子米(約780-約850) 在公元820年左右出版了《代數(shù)學》。書中給出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知數(shù)叫做“根”，其后譯成拉丁文 radix 。

我們通常把 x = ? ? --> b ± ± --> b 2 ? ? --> 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 稱之為 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 的求根公式： a x 2 + b x + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 ? ? --> ( b 2 a ) 2 + c a = 0 ( x + b 2 a ) 2 ? ? --> b 2 4 a 2 + c a = 0 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 4 a 2 ? ? --> c a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 ? ? --> 4 a c 4 a 2 x + b 2 a = ± ± --> b 2 ? ? --> 4 a c 2 a x = ? ? --> b ± ± --> b 2 ? ? --> 4 a c 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {a}}x+\left({\frac {2a}}\right)^{2}-\left({\frac {2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}

或不將 x 2 {\displaystyle x^{2}} 系數(shù)化為1：

a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 ? ? --> c ( x a + b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 ? ? --> c x a + b 2 a = ± ± --> ( b 2 a ) 2 ? ? --> c x a + b 2 a = ± ± --> b 2 4 a ? ? --> c x + b 2 a = ± ± --> b 2 4 a 2 ? ? --> c a x + b 2 a = ± ± --> b 2 4 a 2 ? ? --> 4 a c 4 a 2 x = ? ? --> b 2 a ± ± --> b 2 ? ? --> 4 a c 4 a 2 x = ? ? --> b ± ± --> b 2 ? ? --> 4 a c 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}

極值

極值的公式

設 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,} ， 將其求導，可得出

設 d y d x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathop {\mbox4lwxivq}}y}{{\mathop {\mbox6782tou}}x}}=0} ，可得 x {\displaystyle x\,} 在 y {\displaystyle y\,} 中的極值（極大值或極小值） x e {\displaystyle x_{e}\,} 滿足：

將 x e = ? ? --> b 2 a {\displaystyle x_{e}=-{\frac {2a}}} 代入 y {\displaystyle y\,} ，可得 y {\displaystyle y\,} 的極值 y e {\displaystyle y_{e}\,} ：

極值的類型

由函數(shù)取極值的充分條件可知： f ″ ( x e ) < 0 {\displaystyle f""(x_{e}) 0 {\displaystyle f""(x_{e})>0\,} ， x e {\displaystyle x_{e}\,} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 的極小值點； f ″ ( x e ) = 0 {\displaystyle f""(x_{e})=0\,} ， x e {\displaystyle x_{e}\,} 是 f ( x ) {\displaystyl拐點f(x)\,} 的拐點)。 由 d 2 y d x 2 = 2 a {\displaystyle {\frac {{\mathop {\mbox7dy6jiv}}^{2}y}{{\mathop {\mbox4abylya}}x^{2}}}=2a} 可知： a < 0 {\displaystyle a 0 {\displaystyle a>0\,} ， y {\displaystyle y\,} 的極值 y e {\displaystyle y_{e}\,} 為極小值； a = 0 {\displaystyle a=0\,} ， y {\displaystyle y\,} 并非二次函數(shù)。 二次函數(shù)亦沒有拐點(反曲點)。

參見

一次方程

拋物線

配方法

圓錐曲線

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