亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

歷史

古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000 BC）古巴比倫的數(shù)學(xué)家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已經(jīng)使用配方法求得了二次方程的正根，但是并沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀(jì)印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數(shù)方程，它同時容許有正負(fù)數(shù)的根。

11世紀(jì)阿拉伯的花拉子密獨立地發(fā)展了一套公式以求方程的正數(shù)解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達(dá)著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

據(jù)說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數(shù)學(xué)家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規(guī)則是（引自婆什迦羅第二）：

在方程的兩邊同時乘以二次項未知數(shù)的系數(shù)的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數(shù)的系數(shù)的平方；然后在方程的兩邊同時開二次方。

例如：解關(guān)于x{\displaystyle x}的方程 ax2+bx=? ? -->c{\displaystyle ax^{2}+bx=-c}

　　在方程的兩邊同時乘以二次項未知數(shù)的系數(shù)的四倍，即4a{\displaystyle 4a}，得

4a2x2+4abx=? ? -->4ac{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}

　　在方程的兩邊同時加上一次項未知數(shù)的系數(shù)的平方，即b2{\displaystyle b^{2}}，得

4a2x2+4abx+b2=? ? -->4ac+b2{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}}

　　然后在方程的兩邊同時開二次方，得

2ax+b=± ± -->? ? -->4ac+b22{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}}[1]

解法

阿貝爾指出，任意一元二次方程都可以根據(jù)a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}、c{\displaystyle c}三個系數(shù)，通過初等代數(shù)運算來求解。求得的解也被稱為方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數(shù)值，只要符合a≠ ≠ -->0{\displaystyle a\neq 0}的原則就可以了。

因式分解法

把一個一元二次方程變形成一般形式ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}后，如果ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程。

將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積后（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等于零，可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程，得到的兩個解都是原方程的解。

如果一元二次方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}存在兩個實根x1,x2{\displaystyle x_{1},x_{2}}，那么它可以因式分解為a(x? ? -->x1)(x? ? -->x2)=0{\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0}。

例如，解一元二次方程

時，可將原方程左邊分解成(x? ? -->1)(x? ? -->2)=0{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0}。所以x? ? -->1=0x? ? -->2=0{\displaystyle x-1=0\quad x-2=0}，可解得x1=1x2=2{\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2}。

公式解法

對于ax2+bx+c=0(a≠ ≠ -->0){\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}，它的根可以表示為：

有些時候也寫成:x1,2=2c? ? -->b± ± -->b2? ? -->4ac .{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}.}

公式解的證明

公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}除以a{\displaystyle a}（a{\displaystyle a}在一元二次方程中不為零），我們將會得到

即

現(xiàn)在我們可以開始配方了。為了配方，我們必須要加上一個常數(shù)（在這個例子里，它是指一個不隨x{\displaystyle x}而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方x2+2xy+y2{\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}的樣子。當(dāng)

我們得到

亦即當(dāng)我們在式子的兩邊加上

我們將得到：

式子的左邊變成了一個完全平方了。并且可以看出是(x+b2a){\displaystyle \left(x+{\tfrac {2a}}\right)}的平方。式子的右邊則可以通分成一個分?jǐn)?shù)，因此式子變成了：

接下來，對式子的兩邊開根號：

最后，式子兩邊同時減去

b2a{\displaystyle {\frac {2a}}}

公式解終于出現(xiàn)了：

一般化

一元二次方程的求根公式在方程的系數(shù)為有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)或是任意數(shù)域中適用。

一元二次方程中的判別式

b2? ? -->4ac{\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}

應(yīng)該理解為“如果存在的話，兩個自乘后為 b2? ? -->4ac{\displaystyle b^{2}-4ac} 的數(shù)當(dāng)中任何一個”。在某些數(shù)域中，有些數(shù)平方根平方根。

根的判別式

對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(0){\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(0\right)}，Δ Δ -->=b2? ? -->4ac{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}稱作一元二次方程根的判別式。根據(jù)判別式，一元二次方程的根有三種可能的情況：

如果Δ Δ -->>0{\displaystyle \Delta >0}，則這個一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根。如果系數(shù)都為有理數(shù)，且Δ Δ -->{\displaystyle \Delta }是一個完全平方數(shù)，則這兩個根都是無理數(shù)，否則這兩個根都是無理數(shù)。

如果Δ Δ -->=0{\displaystyle \Delta =0}，則這個一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根。而且這兩個根皆為

如果Δ Δ --><0{\displaystyle \Delta <0}，則這個一元二次方程有兩個不同的復(fù)數(shù)根，且為共軛復(fù)根。這時根為

非實系數(shù)一元二次方程

即系數(shù)為非實數(shù)時的一元二次方程，將系數(shù)擴展到復(fù)數(shù)域內(nèi)，此時要注意根的判別式不適用于非實系數(shù)一元二次方程。

根與系數(shù)

根據(jù)韋達(dá)定理可以找出一元二次方程的根與方程中系數(shù)的關(guān)系。

圖像解法

Δ Δ -->>0{\displaystyle {\color {Red}{}\Delta >0}}，則該函數(shù)與x軸相交（有兩個交點）Δ Δ -->=0{\displaystyle {\color {Blue}{}\Delta =0}}，則該函數(shù)與x軸相切（有且僅有一個交點）Δ Δ --><0{\displaystyle {\color {Green}{}\Delta <0}}，則該函數(shù)與x軸相離（沒有交點）

一元二次方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的根的幾何意義是二次函數(shù)y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}的圖像（為一條拋物線）與x{\displaystyle x}軸交點的X坐標(biāo)。

ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的解是y=x2{\displaystyle y=x^{2}}和y=? ? -->bax? ? -->ca{\displaystyle y=-{\begin{matrix}{\frac {a}}x\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {c}{a}}\end{matrix}}}交點的X座標(biāo)

另外一種解法是把一元二次方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}化為

則方程ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}的根，就是函數(shù)y=x2{\displaystyle y=x^{2}}和y=? ? -->bax? ? -->ca{\displaystyle y=-{\frac {a}}x-{\frac {c}{a}}}交點的X坐標(biāo)。

通過作圖，可以得到一元二次方程根的近似值。

計算機法

在使用計算機解一元二次方程時，跟人手工計算類似，大部分情況下也是根據(jù)下面的公式去解

可以進行符號運算的程序，比如Mathematica，可以給出準(zhǔn)確的解析表達(dá)式。而大部分程序則只會給出數(shù)值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數(shù))

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。