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定義

若存在一非零常數(shù) k 使

則稱變量 y 與變量 x 成比例（有時(shí)也稱為成 正比 ）。當(dāng)x和y成 正比 關(guān)系，表示當(dāng)x變?yōu)樵瓉?lái)k倍時(shí)，y也會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍。

該關(guān)系通常用 ∝ (統(tǒng)一碼: U+221D) 表示為：

并稱該常數(shù)比率

為 比例常數(shù) 或比例關(guān)系中的 比例恒量 。

在日常生活中，正比這個(gè)詞的使用并不嚴(yán)格局限于線性函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的增大（縮小）而相應(yīng)地增大（縮?。?，近似地滿足線性關(guān)系的時(shí)候，我們可以說(shuō)這兩個(gè)變量成正比。

用法與歷史

現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)于比例的用法并沒有嚴(yán)格限制，例如，在一個(gè)班級(jí)里面，我們可以說(shuō)：“男孩與女孩的比例是 2 比 1”。然而，在古希臘數(shù)學(xué)中，由于比例是用來(lái)表示倍數(shù)關(guān)系，所以必須是相同種類的數(shù)量才能構(gòu)成比例，例如，歐幾里得在【幾何原本】第五冊(cè)中如此定義比例 ：

阿基米德使用這個(gè)定義來(lái)敘述均勻運(yùn)動(dòng)（uniform motion）的等比關(guān)系 ：

阿基米德所要描述的，就是勻速運(yùn)動(dòng)（或稱“等速運(yùn)動(dòng)”），但是古希臘數(shù)學(xué)并不接受距離與時(shí)間的比例 （亦即速率），因?yàn)樗鼈兪遣灰粯拥臄?shù)量，所以他沒有辦法直接說(shuō)：“均勻運(yùn)動(dòng)就是每一點(diǎn)上的速率皆相等”。當(dāng)采用古希臘的比例論來(lái)敘述時(shí)，必須取兩段距離 L 1 {\displaystyle L_{1}} 與 L 2 {\displaystyle L_{2}} 以及所需時(shí)間 T 1 {\displaystyle T_{1}} 與 T 2 {\displaystyle T_{2}} ，均勻運(yùn)動(dòng)（勻速運(yùn)動(dòng)）就是 L 1 : L 2 = T 1 : T 2 {\displaystyle L_{1}:L_{2}=T_{1}:T_{2}} 。

例子

假設(shè)某人以勻速運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)的距離是和運(yùn)動(dòng)的時(shí)間成正比的，該速度值即是所述的比例常數(shù)。

圓的周長(zhǎng)與其直徑成正比，其中的比例常數(shù)等于π。

在按比例尺繪制的地圖上，地圖上任意兩點(diǎn)間的距離是和該兩點(diǎn)所代表的實(shí)際地點(diǎn)之間的距離成比例的，其比例常數(shù)即是繪制該地圖所使用的比例尺系數(shù)。

物理學(xué)中，地球的重力對(duì)在海平面上的某物體的作用力的數(shù)值與該物體的質(zhì)量成正比，其比例常數(shù)即地球的重力加速度。

性質(zhì)

因?yàn)?/span>

等價(jià)于

因此可推出，若 y 與 x 具有比例常數(shù)為 k 的比例關(guān)系，則 x 也與 y 具有比例常數(shù)為 1/ k 的比例關(guān)系。

若 y 與 x 成比例，則 y 作為 x 的一個(gè)函數(shù)的函數(shù)圖像會(huì)是一條穿過原點(diǎn)的直線，該直線的斜率等于其比例常數(shù)。

比例關(guān)系中，位于兩端的兩數(shù)之積等于位于中間的兩數(shù)之積

a b = c d {\displaystyle {a \over b}={c \over d}\quad } ? a d = b c {\displaystyle \quad ad=bc}

比例的其他性質(zhì)

a b = c d {\displaystyle {a \over b}={c \over d}\quad } ? b a = d c {\displaystyle \quad {b \over a}={d \over c}}

a b = c d {\displaystyle {a \over b}={c \over d}\quad } ? a c = b d {\displaystyle \quad {a \over c}={b \over d}}

a b = c d {\displaystyle {a \over b}={c \over d}\quad } ? a + b b = c + d d {\displaystyle \quad {a+b \over b}={c+d \over d}}

a b = c d {\displaystyle {a \over b}={c \over d}\quad } ? a ? ? --> b b = c ? ? --> d d {\displaystyle \quad {a-b \over b}={c-d \over d}}

若有 a b = x y , {\displaystyle {a \over b}={x \over y},} 且有 c d = x y , {\displaystyle {c \over d}={x \over y},} 則有 a + c b + d = x y {\displaystyle {a+c \over b+d}={x \over y}}

反比關(guān)系

在上面定義中，我們說(shuō)有時(shí)稱兩個(gè)成比例的變量成 正比例 ，這是為了和 反比例 關(guān)系相對(duì)應(yīng)。

如果兩變量中，一個(gè)變量和另外一個(gè)變量的倒數(shù)成正比，或等價(jià)地，若這兩變量的乘積是一個(gè)常數(shù)，則稱這兩個(gè)變量是成 反比例 （或 相反地變化 ）的。從而可繼續(xù)推出，若存在一非零常數(shù) k 使

則變量 y 和變量 x 成反比。

反比例關(guān)系的概念基本上說(shuō)明的是這樣一種關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一變量的值相應(yīng)變小，而兩者之積總是保持為一常數(shù)（即比例常數(shù)）。

舉例來(lái)說(shuō)，運(yùn)動(dòng)中的車輛走完一段路程所花費(fèi)的時(shí)間是和這輛車運(yùn)動(dòng)的速度成反比的；在地上挖個(gè)坑所花的時(shí)間也（大致地）和雇來(lái)挖坑的人數(shù)成反比的。

在笛卡爾坐標(biāo)平面上，兩個(gè)具有反比例關(guān)系的變量的圖形是一對(duì)雙曲線。該圖線上的每一點(diǎn)的 X 和 Y 坐標(biāo)值之積總是等于比例常數(shù) ( k )。由于 k 非零，所以圖線不會(huì)與坐標(biāo)軸相交

指數(shù)比例和對(duì)數(shù)比例

若變量 y 與變量 x 的指數(shù)函數(shù)成正比，即：若存在非零常數(shù) k 使

則稱 y 與 x 成指數(shù)比例。

類似地，若變量 y 與變量 x 的對(duì)數(shù)函數(shù)成正比，即：若存在非零常數(shù) k 使

則稱 y 與 x 成對(duì)數(shù)比例。

確定比例關(guān)系的實(shí)驗(yàn)方法

用實(shí)驗(yàn)方法確定兩個(gè)物理量是否具有正比關(guān)系，可采用這樣的辦法，即進(jìn)行多次測(cè)量并在笛卡爾坐標(biāo)系中將這些測(cè)量結(jié)果用多個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，而繪制出這些點(diǎn)的分布圖形；如果所有點(diǎn)完全（或接近）地落在一條穿過原點(diǎn) (0, 0) 的直線上，則這兩個(gè)變量（很有可能）具有比例常數(shù)等于該直線斜率的正比關(guān)系。

參見

比率

相似性

比例字體

相關(guān)性

三數(shù)法則（ Rule of three ）

比例論

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