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定義

結(jié)構(gòu)被形式的定義于某個語言L的上下文中，它由常量符號的集合，關(guān)系符號的集合，和函數(shù)符號的集合組成。在語言L上的結(jié)構(gòu)，或L-結(jié)構(gòu)，由如下東西組成：

一個全集或底層集合A，它包含所有感興趣的對象（"論域"），

給L的每個常量符號一個在A中元素，

給L的每個n價函數(shù)符號一個從A到A的函數(shù)，和

給L的每個n價關(guān)系符號一個在A上的n-元關(guān)系（換句話說，A的一個子集）。

函數(shù)或關(guān)系的價有時也叫做元數(shù)（術(shù)語"一元"、"二元"和"n-元"中的那個元）。

在語言L中的理論，或L-理論，被定義為L中的句子的集合。如果句子的集合閉合于通常的推理規(guī)則之下，則被稱為閉合理論。例如，在某個特定L-結(jié)構(gòu)下為真的所有句子的集合是一個閉合L-理論。

L-理論T的模型由在其中T的所有句子都為真的一個L-結(jié)構(gòu)組出，它通常用T-模式的方式定義。

理論被稱為可滿足的，如果它有模型。

例如，偏序的語言有一個二元關(guān)系≥。因而偏序的語言的結(jié)構(gòu)就是帶有≥所指示的二元關(guān)系的一個集合，它是偏序的理論的模型，如果此外它還滿足偏序的公理。

定理

哥德爾完備性定理表明理論有一個模型當且僅當它是一致的，也就是說沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因為它使得我們能夠通過檢視模型回答關(guān)于理論的問題，反之亦然。不要把完全性定理和完備理論的概念混淆。一個完備的理論是包含每個句子或其否命題的理論。重要的是，一個完備的協(xié)調(diào)理論可以通過擴展一個協(xié)調(diào)的理論得到。

緊致性定理說一組語句S是可滿足的（即有一個模型）當且僅當S的每一個有限子集可滿足。在證明理論的范圍內(nèi)類似的定義是下顯而易見的，因為每個證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的范疇內(nèi)這個證明就更困難了。目前已知的有兩個證明方法，一個是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個是阿納托利·伊萬諾維奇·馬爾采夫提出的（這個更直接，并允許我們限制最后模型的基數(shù)）。

模型論一般與一階邏輯有關(guān)。許多模型論的重要結(jié)果（例如哥德爾完備性定理和緊致性定理）在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對于一個可數(shù)的語言，任何理論都有可數(shù)的模型。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達，它說對于任何可數(shù)的語言中的任何有一個無限模型都有一個可數(shù)的初等子模型。

莫雷（Morley）證明了著名的范疇定理。即對于可數(shù)語言的任何可數(shù)完備理論，如果它在某個不可數(shù)基數(shù)上是范疇的，則它在所有不可基數(shù)上都是范疇的。這個定理極大的刺激了模型論的發(fā)展，產(chǎn)生了后來的所謂穩(wěn)定性理論（stable theory）。

近來模型論更加著重于對于其它數(shù)學分支，尤其是代數(shù)和代數(shù)幾何的應(yīng)用。

參考文獻

Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1

參見

證明論

遞歸論

一階謂詞邏輯

Tarski語義

緊致性定理

可靠性定理

哥德爾完全性定理

Craig插入定理

Beth可定義性定理

高階邏輯

類論

哥德爾不完全性定理

可公理化類

超實數(shù)

基本嵌入

飽和模型

力迫 (數(shù)學)

有限模型論

描述復(fù)雜度

Kripke語義

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