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定義

空間 X{\displaystyle X} 的第 k{\displaystyle k} 個(gè)貝蒂數(shù)（k{\displaystyle k} 為非負(fù)整數(shù)）定義為

上式的同調(diào)群可以任意域?yàn)橄禂?shù)。

例子

圓環(huán) S1{\displaystyle S^{1}} 的貝蒂數(shù)依次為 1,1,0,0,0,… … -->{\displaystyle 1,1,0,0,0,\ldots }。

二維環(huán)面的貝蒂數(shù)依次為 1,2,1,0,0,0,… … -->{\displaystyle 1,2,1,0,0,0,\ldots }。

三維環(huán)面的貝蒂數(shù)依次為 1,3,3,1,0,0,0,… … -->{\displaystyle 1,3,3,1,0,0,0,\ldots }。

一般而言，n{\displaystyle n} 維環(huán)面的貝蒂數(shù)由二項(xiàng)式系數(shù)給出，此命題可透過下節(jié)敘述的性質(zhì)證明。

無窮維空間可以有無窮多個(gè)非零的貝蒂數(shù)，例如無窮維復(fù)射影空間 P∞ ∞ -->{\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }} 的貝蒂數(shù)依次為 1,0,1,0,1,… … -->{\displaystyle 1,0,1,0,1,\ldots }（周期為二）。

性質(zhì)

閉曲面的第一個(gè)貝蒂數(shù)描述了曲面上的“洞”數(shù)。環(huán)面之 b1=2{\displaystyle b_{1}=2}；一般而言，閉曲面的 b1{\displaystyle b_{1}} 等于“洞”或“把手”個(gè)數(shù)之兩倍?？啥ㄏ蚓o閉曲面可由其 b1{\displaystyle b_{1}} 完全分類。

有限單純復(fù)形或CW復(fù)形的貝蒂數(shù)有限。當(dāng) k{\displaystyle k} 大于復(fù)形維度時(shí)，bk=0{\displaystyle b_{k}=0}。

對于有限 CW 復(fù)形，定義其龐加萊多項(xiàng)式為貝蒂數(shù)的生成函數(shù)

對于任意 X,Y{\displaystyle X,Y}，有

對于 n{\displaystyle n}-維可定向閉流形X{\displaystyle X}，龐加萊對偶定理給出貝蒂數(shù)的對稱性

貝蒂數(shù)與微分形式

在微分幾何及微分拓?fù)渲校摰目臻g X{\displaystyle X} 通常是閉流形，此時(shí)拓?fù)洳蛔兞?bk{\displaystyle b_{k}} 可以由源自流形微分結(jié)構(gòu)的微分形式計(jì)算。具體言之，考慮復(fù)形

其中 Ak(X){\displaystyle A^{k}(X)} 表 k{\displaystyle k} 次微分形式構(gòu)成的向量空間，d{\displaystyle d} 為外微分。則

這是德拉姆上同調(diào)理論的簡單推論。

德拉姆上同調(diào)的不便之處，在于它考慮的是微分形式的等價(jià)類，其間可差一個(gè) Im(d:Ak? ? -->1→ → -->Ak){\displaystyle \mathrm {Im} (d:A^{k-1}\to A^{k})} 之元素。設(shè)流形 X{\displaystyle X} 具有黎曼度量，則可以定義微分形式的“長度”。我們?nèi)魢L試以變分法在等價(jià)類中找最短元素，透過形式計(jì)算可知存在唯一最短元素 ω ω -->∈ ∈ -->Ak(X){\displaystyle \omega \in A^{k}(X)}，且為調(diào)和形式 ：Δ Δ -->ω ω -->=0{\displaystyle \Delta \omega =0}，在此拉普拉斯算子Δ Δ -->{\displaystyle \Delta } 依賴于流形的度量，在局部座標(biāo)系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的霍奇理論在復(fù)幾何中扮演關(guān)鍵角色。

文獻(xiàn)

F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).

J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).

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